Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

справедливости моей догадки будучи наконец убеждён, и почитая затруднительный вопрос решённым вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 г.»

В 1868 году итальянский математик Бельтрами изучил вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности работает геометрия Лобачевского!...

«Впоследствии появились и другие модели геометрии Лобачевского. Эти модели окончательно установили, что геометрия Лобачевского не противоречива. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия не единственно возможная. Это оказало большое прогрессивное влияние на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.
А в XX веке было обнаружено, что геометрия Лобачевского важна не только для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и имеет прямое отношение к приложениям математики в физике. Выяснилось, что отношения пространства и времени, описанные в специальной теории относительности, напрямую связаны с геометрией Лобачевского. Например, формулы геометрии Лобачевского используются при разработке синхрофазотрона…»

13

«Неевклидова геометрия» родилась из 5-го постулата Евклида о параллельных, о который до этого обломали зубы многие поколения математиков с мiровыми именами и непомерными амбициями. Некоторые из них, как свидетельствуют историки, даже тронулись умом от невозможности с ним справиться - доказать или же опровергнуть: настолько неочевидным и непростым он всем казался с момента опубликования! И только гениальный Лобачевский пришёл к удивительному заключению, что 5-й постулат не надо пытаться доказывать или выводить из чего-то. Это действительно аксиома, но область применения которой достаточно ограничена, - только-то и всего! 5-й постулат работает, и хорошо, исключительно на плоскости: он - плоскостной. На любых же поверхностях с отрицательной или положительной кривизной он теряет свою актуальность: там нужно вводить иную, альтернативную аксиоматику… Лобачевский это и проделал - и поразил научный мiр новой геометрией, которая по строгости, изящности и полноте не уступала прежней, классической.
«Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной» /Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен/…
   
«Неевклидова ересь», как и почти одновременное с ней введение в математику диковинных чисел - комплексных чисел и кванторов, - произвела эффект разорвавшейся бомбы в тихом и чопорном до того математическом королевстве. Она повергла учёных в шок, в тихий ужас даже, заставила коренным образом пересматривать взгляды на жизнь, на саму мать-Природу и её диковинное устройство. И, одновременно, - на базовые структуры всей классической математики, которые на поверку оказались менее однозначными и более субъективными, чем думалось и виделось прежде. Учёные, к неудовольствию своему, вынуждены были встряхнуться и “протрезветь” - чтобы заняться уже “математическим самоанализом”…


Часть седьмая

«...лучший продукт математического гения и одно из высших достижений чисто интеллектуальной человеческой деятельности» /Дэвид Гильберт о достижениях Кантора в математике/.

1

Вторая половина 19-го века принесла математикам новую головную боль и новые, ещё большие сомнения и разочарования, уже связанные с созданием теории множеств и математической логики. Две эти новые дисциплины позволили, с одной стороны, поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости; но, с другой, принесли некогда чопорной “царице наук” такие проблемы и противоречия, и нестыковки между отдельными её частями, от которых она до сих пор не оправилась. И не известно ещё - оправится ли!...

Если истоком «неевклидовой геометрии» стал 5-й постулат Евклида, - то истоком теории множеств, как представляется, стали парадоксы (или апории) Зенона, про которые ранее уже упоминалось вскользь…

Пред’история вопроса. Апории Зенона - внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, которые оставил потомкам видный философ и математик Древности Зенон Элейский, ставший автором якобы более 40-ка апорий. До нас же дошли всего 9-ть, но и их достаточно, чтобы оценить невероятную прозорливость и глубину мысли этого учёного.
Наиболее известны его парадоксы о движении: «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» и «Стрела», - которые обсуждаются и анализируются уже много сотен лет мiровым учёным сообществом. Им посвящены сотни исследований и статей, а это уже само по себе говорит о многом.
Сначала они воспринимались как софизмы. И только потом, приблизительно с Аристотеля начиная, стали открываться взорам исследователей их фантастическая важность, актуальность и глубина. Бертран Рассел писал, например, что парадоксы Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней». И далее: «Проблематика аргументов Зенона далеко выходит за пределы конкретной исторической ситуации, обусловившей их появление. Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств».
Считается, что критические аргументы Зенона, что и рождали в итоге его парадоксальные апории, были связаны с его размышлениями о математических учениях пифагорейцев: апории фактически ставили под сомнение применение их количественных методов и подходов к исследованию реальных физических тел и пространственной протяжённости. И этот взгляд Зенона на изучение окружающего материального мiра полностью разделял потом строгий и убеждённый эмпирик Аристотель. 
Пифагорейская же школа, как уже подробно отмечалось выше, наоборот, выражала твёрдую уверенность в том, что математические закономерности лежат в основе всех законов мiрозданья. В частности, математическая модель движения в природе была создана ими и их последователями на основе геометрии.
Геометрия же пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия. И самым идеализированным, и потому самым спорным было фундаментальное понятие точки пространства, что не имеет вообще никаких собственных измеримых характеристик: размера - прежде всего. Тем самым любая геометрическая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из без-конечного количества отдельных точек - то есть дискретной, по сути, прерывной. Что было уже парадоксом, который, однако, внутри самой математики тогда ещё не вызывал проблем. Но применение этой изначально-порочной схемы к описанию реального движения поставило перед будущими исследователями большой вопрос. И Зенон Элейский был первым, кто эту глобального масштаба проблему, пусть и не до конца и не в полной мере, но осознал; и потом ясно и чётко сформулировал в серии своих парадоксов (апорий).
В двух его апориях («Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия») изначально предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы. После чего Зенон очень умно и изящно демонстрирует на примерах, что подобное допущение приводит к логическим трудностям, и это мягко сказано. Третья его апория («Стрела»), наоборот, рассматривает время уже как дискретное или прерывное, составленное из точек-моментов. Но и в этом случае, как показал Зенон, возникают трудности, но уже иного рода. Из чего с очевидностью вытекало, что трудности будут возникать всегда, если пытаться бездумно и залихватски применять количественные методы к описанию реальных физических процессов и самого движения - непрерывного по сути своей…

Вывод из всего этого таков. Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе, адекватность физического движения и его математической модели. Эти дискуссии продолжаются и поныне, и им не видно конца.
Под влиянием возникших философских споров уже в глубокой Древности сформировались два полярных взгляда на строение материи и пространства. Первый утверждал их без-конечную делимость, второй - существование неделимых частиц, “атомов”. Пока побеждает вторая версия устройства физического мiра. Но это только пока…

В качестве наглядного примера рассмотрим самую известную апорию Зенона - «Ахиллес и черепаха». Её классическая формулировка звучит так:
«Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в 1000 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползёт ещё 10 шагов, и так далее. Процесс погони будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».
С этим парадоксом Зенона, пришедшим из глубины веков, каждый из нас хотя бы раз в жизни сталкивался в быту, хотя и не догадывался об этом. Потому что каждый хотя бы раз катался на лодке, плоту, байдарке или катамаране, и помнит, как происходит конечный этап катания - причаливание к берегу. Чтобы причалить плавно и не удариться лодкой о пристань, нужно плавно же сбавлять скорость лодки (и ускорение, если уж быть совсем строгим и точным и соблюдать законы современного автоматического регулирования подобными процессами). Чем меньше будет становиться расстояние до пристани, тем, соответственно, меньше будет и скорость причаливания, которая будет стремиться к нулю, и лодка в конце концов почти совсем перестанет двигаться. Понятно, что так мы никогда не причалим, если только не хотим допустить соударения и обеспечить плавный и непрерывный процесс.
Поэтому-то в конце причаливания нужно непременно совершить рывок, перейти от непрерывного движения лодки к дискретному. И лодка при этом обязательно ударится о пристань, пусть даже и не сильно, чуть-чуть. Для примера с бытовой лодкой это не страшно: её вес не очень большой, и пристань она не разрушит и сама не пострадает. А вот для больших судов, военных или гражданских, всё происходит немножечко по-другому. Там не совершают конечных рывков и не бьются о пирс, а наоборот, тормозят и останавливаются в нескольких метрах от причала; а потом или спускают трап, и уже по нему спускаются сами, или же чалку кидают с борта, которую подхватывают матросы на берегу и рывком опять-таки притягивают судно к пирсу. Но в любом случае в конце надо всенепременно совершить рывок, то есть перейти от непрерывного хода к дискретному. Иначе мы никогда не причалим к берегу, или же, наоборот, судно и причал разобьём вдребезги. Что и показал когда-то давным-давно мудрый Зенон своими апориями…

2

Ну а теперь, если перейти непосредственно к истории создания современной теории множество, в основе которой лежит базовое понятие без-конечности, - то надо заметить читателям, что представления о потенциальной и актуальной без-конечностях сформировались достаточно давно - ещё в Античности. Пифагорейцы уже с этим активно работали, когда исследовали ряды