Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

орудие в борьбе с католической Церковью, с Ватиканом, наподобие гигантского паука опутавшего Европу. Однако кульминация научной идеологии, и одновременное обожествление Ньютона было прочно связано уже со школой Анри Сен-Симона (1760-1825). В первой четверти 19-го века французский философ, социолог, известный социальный реформатор и основатель школы утопического социализма Сен-Симон создал “передовую” на его взгляд социалистическую систему (ныне известную как сен-симонизм), впоследствии оказавшую большое влияние на Ш.Фурье, Р.Оуэна, К.Маркса и Ф.Энгельса, О.Конта, поэта Г.Гейне. Основой сен-симонизма как раз и стала научная идеология, сциентизм. А фундаментом или краеугольным камнем сциентизма, в свою очередь, европейскими учёными-естествоиспытателями была определена «Механическая Система Мiра» Исаака Ньютона.
Вот несколько характерных высказываний ведущих деятелей сен-симонизма.
«Законы, управляющие человеческим обществом, столь же точны, как и те, которые управляют падением камня».
«Искусство и наука должны быть созданы с математической точностью, как учат рассчитывать мосты в Школе» (Нормальная Школа в Париже - А.С.)…

«Сен-Симон предлагал учредить поклонение Ньютону в особых храмах. Согласно его идее, общество должно управляться “Великим Ньютонианским Советом”, состоящим из лучших математиков, физиков, химиков и физиологов мира. В качестве председателя они должны избрать математика. Все провинции управляются “Малыми Ньютонианскими Советами”… Среди ближайших последователей Сен-Симона были не только будущие революционеры и социалисты, но и некоторые из самых преуспевающих финансистов, впоследствии основавших крупнейшие французские банки и сети железных дорог. Так что сен-симонизм повлиял на развитие как социалистических учений, так и современного капитализма» /И.Р.Шафаревич/.
Эта смесь сциентизма с техницизмом определяет и дух современной идеологии Технологической Цивилизации Запада, распространившейся сейчас уже по всему мiру, - Цивилизации, которая своим стремительным и гипертрофированным развитием общества неограниченного себялюбия, достатка и потребления обещает в скором будущем похоронить планету Земля, привести её необузданными аппетитами и прожектами к очередной вселенской экологической катастрофе.
Технологической цивилизация называется потому, напомним, что основывается на максимальном использовании техники во всех областях человеческой деятельности. Техника традиционно считается более надежной и эффективной, чем природа, и всюду вытесняет природу, если это только возможно.
Современные социологи правильно описывают этот необратимый и гибельный в целом процесс как попытку человека уничтожить природу, заменив ее искусственной природой - техникой.
К.Лоренц предупреждал: «Категория морали применима к некоторому действию, если только оно направлено на нечто живое. Современный человек имеет дело главным образом с искусственными объектами. В результате он отучается оценивать свои действия с точки зрения морали и судит о них лишь с точки зрения эффективности. Поэтому, встречаясь с чем-то живым, он его быстро уничтожает».
С.Рамо даже предлагал выход: «Сейчас мы должны планировать сосуществование с машинами. Мы становимся партнерами. Машины нуждаются, для оптимального функционирования, в некотором типе общества. Мы тоже имеем свои предпочтения. Но мы нуждаемся в том, что может дать машина, и поэтому должны идти на компромисс. Мы должны так изменить законы общества, чтобы мы были совместимы».
Согласно главным принципам идеологии технологической цивилизации, все жизненные явления и процессы, которые не функционируют по “оптимальным правилам” машин, понимай: не могут быть механизированы и автоматизированы, - считаются ненадежными, неважными и неперспективными. И постепенно они вытесняются.
М.Лейш итожит всё выше сказанное: «После Хиросимы стало ясным, что наука лояльна не по отношению к человечеству, но к истине - её собственной истине, - что закон науки не есть закон блага, - но закон возможного. Что для науки возможно, то она и должна сделать»…

10

«В конце 17-го века произошло грандиозное событие в истории математики - Ньютон и Лейбниц создали мощные и чрезвычайно плодотворные методы математического анализа, который тогда называли “анализом (или исчислением) бесконечно малых”. Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, методы её существенно углубились, и при этом результаты применения остались по-прежнему неоспоримо верными. Однако техника тогдашнего анализа существенно опиралась на алгебраические операции с новым математическим объектом - бесконечно малыми величинами, смысл которых пояснялся в довольно туманных выражениях. Техника эта была довольно противоречивой - в ходе расчёта с бесконечно малыми сначала обращались как с ненулевыми числами (например, делили друг на друга), в конце же их приравнивали нулю. Новому разделу математики требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование, однако оно появилось только полтора века спустя, в начале 19-го века» /выдержка из современного математического словаря/.
Состояние туманности и неопределённости, которое пережил математический анализ уже в момент своего зарождение, историки теперь называют “вторым кризисом оснований математики”. “Первый кризис основ математики”, напомним, разразился в Древние времена, когда пифагорейцы вдруг обнаружили, к ужасу своему, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной; то есть их отношение нельзя выразить известными к тому времени числами - натуральными и дробями.
Крупнейшие математики 18-го века - Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие, помельче, - попытались было дать строгое и логически-безупречное определение понятию “бесконечно малое”, но ничего из тех их первых попыток не получилось. Ибо ни одно из представленных ими определений не было признано европейским учёным сообществом как убедительное, увы.
Дело даже дошло тогда до курьёза. В 1784 году Берлинская академия наук объявила, например, конкурс на лучшее объяснение того, «каким это образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения о существовании бесконечно малых». Что дало повод пересмешнику и острослову Вольтеру поиздеваться над учёными и язвительно определить мат’анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума».
А влиятельный философ Кант - неустанный и глубокий критик “чистого разума” - попытался дать своё обоснование случившемуся. По его мнению, «математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией»...

Почему подобное происходило? - теперь-то уже хорошо понятно: с высоты накопленных знаний, ошибок и без-ценного научного опыта.
«Непрерывность функции в этот период понималась чисто интуитивно, теория вещественных чисел отсутствовала. Нечёткость оснований анализа, как выяснилось в 19-м веке, привела к многочисленным ошибкам - высказывались и даже доказывались ошибочные теоремы, в других случаях чересчур широко формулировались условия теорем. Например, Андре Мари Ампер и Жозеф Луи Франсуа Бертран доказывали, что любая непрерывная функция дифференцируема, сходимость используемых рядов не проверялась… Абель в 1826 году даже жаловался в письме: «В высших разделах анализа имеется лишь несколько теорем, доказанных с более или менее приемлемой строгостью»…»
Впоследствии стараниями Огюстена Луи Коши, сумевшего (пусть и с некоторыми оговорками) дать-таки ясное и логически-непротиворечивое обоснование мат’анализа на основе понятия предела, и Карла Вейерштрасса, завершившего, в целом, основания современного дифференциального и интегрального исчисления, математики более-менее разобрались с понятием “бесконечно малых” (они из особого вида чисел превратились в переменные, сходящиеся к нулю), перестали в них путаться и спотыкаться, вызывать у сторонних людей смех.
Хотя и подход Коши был ещё не вполне строгим, поскольку не включал теорию вещественных чисел (её аксиоматику на исходе 19-го века, и тоже с большими оговорками, разработал Дедекинд). Возможно, поэтому и сам Коши не избежал ошибок. Он был уверен, например, что сумма ряда непрерывных функций также непрерывна, и что интегрировать такие ряды всегда можно почленно…

Как бы то ни было, и как бы ни старались корифеи “царицы наук” поставить свою владычицу и обожательницу на мощный логически-непротиворечивый фундамент, - но ещё даже и во второй половине 1970-х годов (скажу это по собственному опыту) аксиоматический и логический аппарат математического анализа, главной общеобразовательной дисциплины всех математиков мiра, вызывал у нас, молоденьких студентов мехмата, одну лишь сплошную неприязнь и скуку. И недоверие к о-малым и О-большим, к бесконечно-близкому приближению и предельному переходу, к кванторам и предикатам. Из-за чего многие мои талантливые однокурсники, разочаровавшись и внутренне остыв, оставляли занятия математикой и покидали в итоге профессию, переключались на что-то другое, более реальное и осязаемое, полезное стране и народу. Подтверждая этим расхожую истину, что математика - для молодых и блаженных, как та же соска для грудничков; а после 30-ти она уже не интересна, не греет душу, как и любая игра... Поэтому оставались в ней только самые упёртые и фанатичные, самые плоские и однобокие, для которых сидеть и решать задачи - любые! - всё равно что жить и дышать…

11

Третий кризис в истории развития математики случился в 19-ом, бурном на события веке, когда, если помните, социальные революции перемежались с войнами, а на месте старых и дряхлых империй и государств на Западе и на Востоке появлялись новые - молодые, здоровые и задорные, более стойкие и жизнеспособные в сравнение с рухнувшими. Одним словом, происходило то на планете, что и должно, что обязано было происходить по логике вещей и заведённой традиции: на обломках старого мiра рождался новый, полный любви и истины; и тем самым обновлялась и улучшалась Жизнь, становясь более правильной, честной и справедливой...

Нечто похожее случилось и в математике, но только с обратным знаком: это когда установившийся до того порядок и позитив был заменён разладом в умах, шатанием и негативом. И “виновниками” и творцами кризиса-революции стали учёные Европы - и России, о которой наконец-таки заговорили вслух: смилостивились над нами европейские ушлые дяди, отвели место в анналах Истории. Спасибо им!... Привело это всё к тому в итоге, подобные интеллектуальные катаклизмы, что сильно пошатнулась - пока что так! - вера в математику как царицу наук, в её незыблемые, абсолютные и универсальные прежде законы, на языке которых была написана якобы Книга Природы и которые составляют-де “идейный скелет” Мiроздания. А это рикошетом