Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

легальных понятий…

Сегодня более-менее понятно, что парадоксы теории множеств, как и всей математики в целом связаны с тем, что множество не есть универсум. Оно недостаточно для отражения Всеобщего в Знании, целостности Знания как такового. А предельные конструкции, ведущие к Единому или Всеобщему, как правило - исключаются из математических теорий и расчётов по причине очевидной и естественной слабости разума человеческого. Потому и приводят и будут приводить в будущем царицу наук к новым казусам и парадоксам…

7

Разумеется, крупные математики Европы и России того периода не могли остаться в стороне от свалившихся на их головы противоречий и спокойно наблюдать тот бардак, или пожар, если помягче и покультурнее, что охватил их горячо-любимую дисциплину. Особенно, после опубликования и введения в оборот абстрактной и чрезвычайно-коварной теории множеств, доставившей столько неясностей и проблем.
Научный мiр с тех пор разделился на две равновеликие части. Одни откровенно и от души поносили Кантора, не жалея эпитетов, самых уничижительных и откровенных. Другие как могли, защищали.
Анри Пуанкаре, например, вначале принявший теорию Кантора и использовавший её в некоторых своих изысканиях, позже её решительно отверг и даже назвал «тяжёлой болезнью математики». Он выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся.
Очень возмущался и Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, где трудился Кантор, и даже долго запрещал публикацию первой его статьи «К учению о многообразиях». Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят-де неконструктивный характер, без построения конкретных примеров. Понятие же “актуальная без-конечность” Кронекер и вовсе считал абсурдным и неприемлемым.
Сам же Кантор будто бы в пику своему начальнику придерживался того мнения - как и большинство современных математиков, к слову, - что любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим…

Пуанкаре и Кронекера чуть позже решительно поддержали в этом вопросе Герман Вейль, Лёйтзен Брауэр и Эмиль Борель (из российско-советских учёных - Д.М.Егоров, И.М.Виноградов, М.А.Лаврентьев, И.Г.Петровскй, Л.С.Понтрягин, М.В.Келдыш), которых более всего коробила “аксиома выбора”. Уже потому, хотя бы, что некоторые следствия аксиомы противоречили интуиции (выше упомянутый парадокс Банаха-Тарского, например).
Другая группа учёных, включая Б.Рассела и Д.Гильберта, наоборот, выступила, пусть и с некоторыми оговорками, в защиту «канторизма». Бертран Рассел, например, оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи». Давид Гильберт и вовсе назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».
В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду - медаль Сильвестра…

Со временем круг сторонников «канторизма» только расширялся. Молодые математики охотно приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем, подвели под неё аксиоматическую базу. Среди них, повторим, значатся фамилии Дедекинда, Гильберта, Феликса Бернштейна, Анри Лебега, Феликса Клейна, Адольфа Гурвица, Эрнста Цермело и других математиков с мiровым именем.
Из российско-советских математиков ярыми и убеждёнными сторонниками теоретико-множественного подхода ко всей математике в целом являлись в 1920-е годы академик Н.Н.Лузин и его школа. А затем эстафетную палочку подхватил академик А.Н.Коломогоров и его многочисленные ученики. Во второй половине 1970-х годов, при реформировании всей школьной математики России, досужие колмогоровцы умудрились даже вставить некоторые элементы данной неочевидной и достаточно спорной теории в образовательные программы десятиклассников РСФСР.
Эффект получился ошеломляющий: математическая культура населения резко снизилась, интерес к математике, как царице наук, также резко упал. Учителя и школьники перестали что-либо понимать - чего, собственно, и добивались лукавые реформаторы. Так это теперь видится по прошествии лет...


Часть восьмая

«Математика - свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”...» /Л. Э. Я. Брауэр/.

1

За словами и спорами, поддержкой, наградами и поношением последовали и дела. Годы, знаменующие собой начало 20-го века в Европе, как раз и были посвящены тамошними учёными наведению порядка на “своей кухне”: попыткам обосновать и формализовать современную им математику, заложить надёжный для неё фундамент, или основания. И этим доказать её полноту, истинность и непротиворечивость. И, главное, нужность мiру, - в чём у сторонних людей уже стали возникать пусть и робкие, но сомнения…

Основные направления разработки оснований математики, коротко, выглядят так.
ЛОГИЗМ
Идея математической логики (или математизации формальной логики) впервые в ясной и адекватной форме была выдвинута Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) - незаурядным немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом; основателем и первым президентом Берлинской Академии наук, членом Лондонского королевского общества, иностранным членом Французской Академии наук. Так вот, одним из первых Лейбниц высказал мысль о введении в буквенную логику Аристотеля математической символики и использовании в логике математических методов. Однако Лейбниц не создал законченной формализованной логической системы: знаний и опыта не хватило. Хотя он значительно усовершенствовал счётную машину, ранее изобретённую Паскалем, и выдвинул первые идеи о “machina rationatrix”, думающей машине…

К концу 19-го столетия окончательно сложилась алгебра логики, чего при Лейбнице не было и в помине. Проблемы строгого и точного обоснования математики, как и необходимость аксиоматического её изложения стали предметом пристального исследования в работах Фреге (1848-1925) и Пеано (1858-1932). Последний придал математической логике её современную форму.
Джузеппе Пеано в 1894 г. начал работу над изданием «Formulaire de Mathmatiques» («Формуляр математики»), в котором все математические дисциплины должны были бы предстать в форме логического исчисления. Пеано реализовал свой грандиозный проект «Formulario Mathematico», направленный на формализованное представление всех разделов математики в символике математической логики, в пяти изданиях в течение 1895-1908 гг., собрав в последнем из них приблизительно 4200 теорем на 516 страницах. При этом он, не чинясь и не приписывая себе чужого, заявил, что «он до некоторой степени реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется справедливым, так как Пеано создал и логическую идеографию, т.е. символический язык, который впоследствии стал общеупотребительным, и формальную систему, представляющую математическое знание.
Пеано впервые сформулировал задачу применения символической логики с целью дедуктивно-аксиоматического построения всей математики. Ему же принадлежит система аксиом для формальной арифметики натуральных чисел»...

Завершается процесс представления математики как продолжения логики созданием фундаментального 3-томного труда «Principia Mathematica» (1910-1913) британскими математиками Бертраном Расселом (1872-1970) и Альфредом Нортом Уайтхедом (1861-1947).
Уайтхед и Рассел начали совместную работу по основаниям математики в 1903 г. в «целях развития всего математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода». Краеугольным камнем предпринятой ими работы выступает «логистическая концепция, которая утверждает, что математика принципиально сводима к формальной логике». Эта концепция включает в себя два важнейших положения:
- все математические истины могут быть сформулированы в терминах некоторого символического языка и распознаваться как логические истины;
- все математические доказательства могут быть переформулированы как символьные цепи логического вывода.
Появлением фундаментального труда «Principia Mathematica», составившего основу логицизма и теории типов и сразу же ставшего классикой, «заканчивается этап создания классических логических исчислений с целью представления всех математических дисциплин как формальных исчислений»...

И тут непременно надо сказать, что логицизм Уайтхеда и Рассела подвергся резкой критике со стороны Анри Пуанкаре, Давида Гильберта и Германа Вейля…

ИНТУИЦИОНИЗМ - идейный антипод логизма.
Одно из ключевых положений интуиционистской философии математики состоит в том, что математика как наука представляет полностью автономную и самодостаточную деятельность. Она не нуждается ни в каких внешних гарантиях; всё, что ей необходимо, содержится в ней самой.
«Математика - свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”...» /Л. Э. Я. Брауэр/.
Известный французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), критически оценивая и обобщая собственные математические прозрения и наработки, актуализировал идею интуиции, лежащую в основе его творческого метода. По его мысли, любая теория - это последующая формализация первоначально интуитивной идеи. В этом смысле Пуанкаре являлся продолжателем философии Рене Декарта с его представлениями о врождённых идеях, являющихся основаниями всего познания вообще.

----------------------------------------------------------
(*) Мiровоззрение Пуанкаре (краткие зарисовки).
«Пуанкаре подчёркивает роль интуиции в математическом рассуждении. Он говорит, что математическое рассуждение имеет “род творческой силы” и тем отличается от цепи силлогизмов (силлогизм, напомним, – логическое умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) получается третье (вывод) – А.С.). Особенно он выделяет математическую индукцию, которая, по его словам, “содержит бесконечное число силлогизмов, как бы сжатое в одной формуле”. Когда он говорит, что математик в принципе отличается от шахматиста, что он не может быть заменён никаким механическим устройством, то кажется, что ему лишь не хватало нужного термина, чтобы сформулировать свою мысль короче: “математик не может быть заменен компьютером”.
Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду содержащегося в нём эстетического элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей математика даётся с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в “структуру”, обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо “увидеть” эту красоту, а это