Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

родственных ей системах») была опубликована в научном ежемесячнике Monatshefte für Mathematik und Physik в 1931 году. Хотя доказательство второй теоремы Гёдель дал только в виде идеи, его результат был настолько ясен и неоспорим, что не вызвал сомнений ни у кого. Гильберт сразу признал ценность открытий Гёделя; первые полные доказательства обеих теорем были опубликованы в книге Гильберта и Бернайса «Основания математики» (1938). В предисловии ко второму тому авторы признали, что для достижения поставленной цели финитных методов недостаточно, и добавили в число логических средств трансфинитную индукцию; в 1936 году Герхард Генцен сумел доказать с помощью этой аксиомы непротиворечивость арифметики, однако логическая полнота так и осталась недостижимой» /Википедия/...

Давайте здесь опять остановимся ненадолго, дорогие мои читателя и друзья, и попробуем разобраться поподробнее, как сумел этот молодой австрийский вундеркинд всего лишь одной теоремой фактически (вторая его теорема лишь дополнила первую) разнести в пух и прах весь ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ФОРМАЛИЗМ, с таким трудом создававшийся на протяжении трёх десятков лет!!!
Так вот, первое, что сделал Гёдель, - это ясно и убедительно показал научному мiру, что понятие «доказуемость» уже понятия «истинность» вне зависимости от того, какая аксиоматическая система выбирается для работы. Он сформулировал величайшую терему о неполноте:
ВСЕ НЕПРОТИВОРЕЧИВЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ СОДЕРЖАТ НЕРАЗРЕШИМЫЕ СУЖДЕНИЯ.
Из этого с неизбежностью вытекает главная идея Гёделя - идея «ограниченности» математических результатов: «любая формальная система либо неполна, либо противоречива»… После подобного безупречно-доказанного утверждения как-то сама собой закончилась эпоха надежд, что математика универсальна и всемогуща, и сможет решить все проблемы, что выдвигает перед человеком ЖИЗНЬ. Выводы Геделя стали “громом среди ясного неба” для мiровых светил, или “ушатом холодной воды на голову”. Они представили математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности «аксиоматического метода» определённым образом ограничены; причём ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть полностью аксиоматизирована. Более того, Гёдель впоследствии доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий нельзя доказать их непротиворечивость. Работа Гёделя обусловила существенную переоценку перспектив философии математики и философии науки в целом…

Математический мiр был шокирован, ясное дело, и это мягко сказано. Сначала математики надеялись, что подобный результат зависит от особенностей системы, в которой работал Гёдель, - формальной арифметики. Но в следующие десятилетия ряд выдающихся математиков: Стивен К. Клини, Эмиль Пост, Дж. Б. Россер и Алан Тьюринг, - показали, что это не так. Теорема Гёделя о неполноте успешно работает в любой формальной дедуктивной логической системе…

Итог же ГИЛЬБЕРТОВСКОГО ФОРМАЛИЗМА был таков, что в результате развития математической логики была установлена неизбежная ограниченность любой «механической» системы получения математических результатов. Таким образом, мечта Лейбница и самого Гильберта: все рассуждения свести к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам и образцам, - оказалась невыполнимой.
Один из краеугольных камней философии начала века - идея познаваемости мiра с помощью традиционного формального логического мышления, сиречь с помощью классических логических законов разума, от природы заложенных в человеке, - была разрушена.
По крайней мере, принципиальная неразрешимость проблемы «разрешимости всех проблем» была установлена в 1930-е годы австрийским математиком-вундеркиндом Куртом Гёделем…

3

Необязательный для прочтения раздел - для самых пытливых и всеядных читателей, - который лишь обобщает и дополняет предыдущие мысли авторские...

В современных математических исследованиях про благородный порыв Гильберта пишется так:
«В конце XIX века в теории множеств Кантора были обнаружены противоречия - антиномии (наиболее известной из которых была антиномия Рассела), означавшие ситуацию, когда в теории доказаны два взаимоисключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами.
Перед математиками остро встал вопрос о причинах возникновения антиномий и способах избавления от них, встал вопрос логического обоснования всей математики.
Задачей обоснования накопленных математических знаний в начале XX века активно занялся Д.Гильберт - первый математик столетия, с поражающей силой и убеждённостью высказывавший и пропагандировавший в научном мире свою знаменитую “аксиому” о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи, которую человек может поставить перед собой, веривший в единство математической науки, в единство математики и естествознания. Гильберт выдвинул перед собой великую программу по закладке аксиоматического фундамента, на котором можно было бы базировать впоследствии любые математические исследования. Программа эта, означавшая веру в полноту некоей всеобъемлющей аксиоматической системы, одновременно должна была доказать и непротиворечивость классической математики, её логическую безупречность и строгость.
Осуществить программу учёный намеревался в два этапа:
              - формализовать всю математику;
              - доказать непротиворечивость математики в её формализованном виде финитными  методами,  то есть методами, исключающими использование актуальной бесконечности.
Выполни он свои задумки, хотя бы часть из них, - кто знает, какие дали открылись бы тогда перед учёными всего мира, какие бы крылья выросли у них. Формализованная непротиворечивая математика оказалась бы тем рычагом, о котором когда-то так мечтал Архимед и при помощи которого, вероятно, и впрямь можно было бы переворачивать мир…
Программа Гильберта, однако ж, оказалась невыполнимой - принципиально невыполнимой! - и надежды немца на формализацию математики не оправдались. В 1931 году другой великий немец, К.Гёдель, своей знаменитой теоремой о неполноте доказал невозможность реализации подобного рода программ, перечеркнув надежды учёных XX века получить финитное доказательство непротиворечивости классической математики…» /Это фрагмент статьи из Математического словаря/.

А вот выдержки из книги Игоря Гарина «Что такое наука?», которые касаются той же темы и будут крайне полезны и поучительны тем, кто всерьёз заинтересуется данным основополагающим для будущего всей мiровой науки вопросом:

«И вот Давид Гильберт выдвигает программу построения внутренне непротиворечивой математики, программу математического обоснования науки с целью изгнания из неё недостоверности. Из сформулированных Гильбертом 23-х знаменитых проблем математики первые два места занимают связанные между собой проблема континуума и проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Последняя, по словам Гильберта, представляет собой обоснование правил арифметических действий совместно с аксиомой непрерывности: доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел равносильно, по Гильберту, доказательству отсутствия противоречий в определении вещественного числа и континуума. Иными словами, Гильберт ставил задачу наряду с доказательством непротиворечивости аксиом арифметики дать строгое обоснование понятия вещественного числа и, тем самым, определенное решение проблемы континуума:
«В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание».
Гильберт не сомневался в достижимости обоснования понятия вещественного числа и, следовательно, доказательства непротиворечивости континуума вещественных чисел, совершенно не предполагая, сколь далеко заведут математику его вопросы... В процессе развития идей Гильберта стало ясно, что обоснование непротиворечивости математической теории приобретает точный смысл лишь в том случае, когда теория полностью формализована, то есть все её предложения могут быть записаны на строго однозначном символическом языке. Формализация - единственное средство устранения двусмысленности используемого языка.
Теорему Гёделя о неполноте арифметики часто называют самым монументальным  интеллектуальным достижением невероятной глубины и силы. С философской точки зрения это подразумевает, что любое высказывание самонедостаточно и самопротиворечиво. После открытий Курта Гёделя и других математиков стало ясно, что идея абсолютного и окончательного обоснования математики, как и полной формализации научного знания, вообще несостоятельна. Или чуть по-иному: “объективная истина” - фикция...»
Или такой интересный фрагмент книги Гарина:
«Я не случайно заговорил об аксиоматике и математических множествах, потому что одной из главных проблем оснований математики является преодоление пропасти между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Собственно, теория множеств и возникла как способ описания континуума. Однако детальное обследование проблемы континуум-множество (Г.Кантор, И.Кёниг, Д.Гильберт, К.Гёдель, П.Коэн, Э.Цермело, Т.Скулем, Н.Н.Лузин и др.) выявило невозможность представления континуума любым, сколь угодно мощным множеством. Это подвигло Г.Вейля на мысль, что континуум вообще не является множеством точек: континуум - среда свободного становления, которую невозможно исчерпать никакими множествами любых чисел.
Обнаруженный факт невозможности исчерпывающего и однозначного описания континуума как множества ведёт к признанию в нём свойств нетривиальной целостности, которую следует понимать как отрицание и исключение всякой множественности. Эта целостность и единство в континууме есть свойства более сильные, чем обычная непрерывность множеств, они лежат как бы в её основе.
Позже на неразрешимость проблемы континуум-множество наложились новые, потрясшие основы математики открытия: невозможности строгого и окончательного обоснования понятия вещественного числа, непротиворечивости континуума вещественных чисел, невозможности полностью формализованной математической теории как таковой. Математики средствами самой математики доказали существование абсолютно неразрешимых математических проблем, в частности проблемы континуум-множество. Так наука впервые столкнулась с Богом в самой себе - непознаваемостью целостного, реальным существованием кантовых ноуменов, “вещей в себе”...
Тем самым выяснилось, что сама математика зиждется на ЦЕЛОМ, неразложимом на элементы, неисчерпаемом никакими приёмами человеческого ума. Если говорить точнее, человеческий разум может много добиться, оперируя с частями и множествами, но, двигаясь в глубь, упирается в непробиваемую бронь ПЕРВОЕДИНОГО…»

4

Теоремы К.Гёделя о неполноте неожиданно показали (хотя неожиданность эта была условная и заранее