Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий отдельному человеку».
С Кантом был вполне солидарен Брауэр и другие интуиционисты, полагавшие, что «математика есть полностью создание человеческой мысли и не зависит от внешнего мира. Практика человеческой деятельности полезна для развития новых математических идей, но в принципе не является необходимой для их возникновения»…

Наиболее же отчаянные скептики и пессимисты после опубликования в немецком математическом журнале статьи Гёделя “Über formal unentscheidbare Sätre der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, содержавшую теорему о неполноте, и вовсе стали ставить вопрос ребром:
«Диктуется ли выбор математических аксиом, определений и проблем окружающим нас внешним миром, который мы воспринимаем своими органами чувств, наблюдаем и измеряем при помощи разных приборов и инструментов? Или же эти аксиомы, определения и проблемы являются свободными творениями человеческого разума и определяются физической структурой мозга?»
Связан ли очевидный прогресс в математике, - законно спрашивали они далее, - с одним лишь придумыванием? или он носит всё же характер открытия?… Или математический прогресс - это то и другое одновременно - и придумывание, и открытие, рознящиеся лишь процентным соотношением?...

Спрашивали и по-другому: куда более строже и жёстче. Математика - это игра? самая красивая, самая тонкая, самая глубокомысленная из всех существующих на земле игр?! - как те же карты, например, нарды, шашки, домино или шахматы! Или - это всё-таки наука, имеющая отношение к действительности?!…

8

Ну а дальше… дальше всё и вовсе запуталось и перемешалось - так, что и не сыщешь концов. 21-й век, едва-едва начавшись, помимо всего остального, трагического и кровавого, ознаменовался ещё и очередным кризисом математики, четвёртым по счёту и настолько глубоким, мощным и всеобъемлющим, что его уже и не пересилить, не преодолеть, как теперь кажется нытикам и пессимистам. Причём, имеет он две очевидные составляющие, или стороны - качественную и количественную.
Качественная сторона современного кризиса такова - коротко. То, что Гильберту и компании не удалось объединить все части теоретической или “чистой” математики на единой аксиоматической базе - было лишь полбеды. Беда заключается в том, что и под каждую часть, как показала практика, невозможно уже подвести надёжный и прочный фундамент, который бы устраивал всех и не вызывал протестов. Получается, что болезнь целой науки распространилась и на её “многочисленное потомство”, которое непременно надо лечить. А как и чем?! - непонятно!
Абстрактность теории множеств, единственной общепринятой (пусть и с большими оговорками и допущениями) основы всей современной математики, помимо очевидной пользы, связанной с универсализмом, приводит и к ряду трудностей в силу её отрыва от традиционного и близкого к опыту материала, свойственного элементарной математике, математике постоянных величин. А именно - от натуральных чисел и простейших геометрических фигур; как и от математической индукции - веками проверенного метода работы с ними, не вызывавшего нареканий, двусмысленностей и альтернатив. Современным исследователям-фундаменталистам, специализирующимся в какой-то определённой области, становится уже невозможно однозначно выбрать обще-приемлемые, очевидные и понятные, доступные каждому аксиомы-смальты или аксиомы-ноты, этакие первородные кирпичики мiроздания, одним словом, чтобы уверенно строить из них естественно-научный мiр, не опасаясь провала и разрушения, критики. Без наличия которых, понятное дело, математика лишается смысла: безнадежно повисает в воздухе и болтается как потерянный воздушный шар.
Точная наука - о, ужас! - пришла к тому двусмысленному положению, что многие аксиомы (или даже целые аксиоматики) имеют существенно иные альтернативы, у которых равные права на признание и хождение в научном мiре, на жизнь; потому что интуитивное предпочтение одного из возможных вариантов невозможно объективно обосновать - простите за каламбур и тавтологию. Ибо вопрос, какая альтернатива “правильная” и “приемлемая”, лишён всякого смысла. Например, для математического анализа, кроме традиционного обоснования, имеется и “нестандартное”, в котором существуют без-конечно малые и без-конечно большие числа (не переменные, заметьте себе, как это было у Ньютона и Лейбница, а именно числа). Таким образом, любой математик вправе уже как бы самостоятельно выбирать даже и между двумя существенно-разными типами и обоснованиями анализа - классическим, в котором выполняется аксиома Архимеда, и нестандартным, не-архимедовым.

---------------------------------------------------------
(*) Аксиома Архимеда - впервые была сформулирована Евдоксом в его теории отношений величин (понятие величины у Евдокса охватывает как числа, так и непрерывные величины: отрезки, площади, объёмы). Так вот, для чисел аксиома Архимеда гласит: «если имеются две величины А и В, и А меньше В, то, взяв А слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти В». Для отрезков же данная аксиома звучит так: «если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший».
Аксиома Архимеда кажется тривиальной на поверхностный и непрофессиональный взгляд, однако её подлинный смысл глубок и коварен. Заключается он в отсутствии без-конечно малых и/или без-конечно больших величин. Эта аксиома не выполняется в “нестандартном анализе”: множество гипер-вещественных чисел содержит без-конечно малые и без-конечно большие величины. А такие элементы могут и не удовлетворять аксиоме Архимеда...
---------------------------------------------------------

Выше уже был отмечен и произвол в принятии, частичном принятии или непринятии аксиомы выбора или континуум-гипотезы, который, опять-таки, целиком и полностью зависит от вкуса и научных взглядов исследователя, и не от чего больше. Ну и куда такое годиться, подумайте?! Ведь получается, что современная математика - это искусственный и малопонятный, мало-приемлемый, главное, для всеобщего обращения язык!!!...

9

«Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чём мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим», - ёрничал по этому поводу Бертран Рассел в своей «Автобиографии» (1967-70 гг.)… Это - юмор, конечно же. Однако есть в ней, «Автобиографии», и очень серьёзные мысли. Такие, например: «Я жаждал достоверности, как другие жаждали религиозной веры. Мне казалось, что наиболее достоверно лишь математическое знание. <…> после двадцати лет усердных трудов я пришёл к выводу, что не в силах сделать математику достоверной»…

Ю.И.Манин (бывший профессор мехмата МГУ, член-корреспондент АН СССР и РАН, ученик гениального И.Р.Шафаревича) в конце 20-го века на полном серьёзе дал свои определения математики и математического образования (в книге «Математика, её границы и перспективы»). Дал он и оценку стоящих перед математической дисциплиной задач - с высоты всех накопленных знаний, прошлых жарких дискуссий и споров.
«Математика, - согласно Манину, - это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа “грамматических” правил».
Расшифровывая свою мысль, Манин далее осознанно и ничтоже сумняся писал, что никакое разумное правительство или сообщество не станет-де кормить людей, занимающихся тем переливанием из пустого в порожнее, к которому он, доктор физико-математических наук и без пяти минут академик, приравнивал все занятия математикой. Не слабо, да?! «Ведь если в результате игры с символами и получается что-либо полезное, - язвительно заключал он, - то это просто означает, что оно содержалось уже в исходных предпосылках». И это, напомним, писалось в конце 20-го века!
«Поэтому, - итожил Юрий Иванович главную мысль своей статьи, - математикам пришлось изобрести свой метод, как получать гранты, стипендии и тому подобное субсидирование своей науки: этот метод состоит в том, чтобы ПРЕТЕНДОВАТЬ на открытия, которых не совершал (и к которым жонглирование цепочками символов и не может привести по самой своей природе).
Но это ПРЕТЕНДОВАНИЕ - не простое искусство, и чтобы обучать ему не испорченную ещё им молодёжь, служат… колледжи, университеты и факультеты, где именно и обучают искусству саморекламы и претенциозности. Это (по Манину) и составляет суть математического образования»…

Доктор физико-математических наук Ю.А.Неретин, выпускник мехмата МГУ им. Ломоносова, согласно вторит Манину (умершему 7 января 2023 года), пусть и не в такой крайней форме: «Ситуация в математике и математической физике последних 10-15 лет быстро становится всё более зловещей… Вопрос В.И.Арнольда “Выживет ли математика?” не есть риторика. Разумные реакции уже сильно запоздали, и выйти из тупика нельзя без тяжёлых потерь».
«Абсурдность рационализма открылась математике - той самой науке, на которой он пытался утвердиться», - ужасается современный математик В.Тростников.

Герман Вейль, ученик Гильберта и один из крупнейших математиков 20-го века, лауреат премии Лобачевского (1927 год), также пессимистически оценивал в своё время возможность дать общепринятое обоснование математики.
«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым, - с грустью утверждал он. - “Математизирование” может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным»…

Хотя существуют и иные точки зрения - прямо-противоположные. Например, выдающийся российско-советский математик, академик-мехматовец Сергей Петрович Новиков (лауреат Ленинской премии (1967), Филдсовской премии (1970), премии Лобачевского (1981) и других) не одобряет неоправданное увлечение формализацией, именно её считает проявлением кризиса, из-за которого математика угрожает-де превратиться «в организм, потерявший единый разум, где органы дёргаются без связи друг с другом»…

10

Теперь подводим итог качественной стороне проблемы. А он неутешителен, ибо общепризнанных оснований у царицы наук ныне не существует. И “проблема обоснования математики всё ещё остаётся далёкой от своего разрешения”. Более того, нет общепризнанного содержания математики. Такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы в принципе и не имеют убедительного интуитивного обоснования. Поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит уже только от личного мнения математика - субъекта научно-исследовательского процесса, а уж никак не ОБЪЕКТА его, не АБСОЛЮТА…

11

Помимо качественной, у означенной проблемы имеется и количественная сторона, у которой также не просматривается решения. И заключается она вот в чём.
Современная теоретическая или чистая математика разрослась и размножилась до таких поистине гигантских размеров, что человек,