Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

сих пор от экспериментальных наук, выводы которых приемлемы постольку, поскольку они согласуются с данными наблюдения и опыта.
Геометрии же чужда эмпирика. В её основание изначально закладывалась идея о том, что любое истинное утверждение может быть получено в качестве заключительного шага цепочки строгих логических доказательств. Первым математикам (жившим задолго до Гильберта) принадлежит честь открытия «аксиоматического метода» и применения его для систематического изложения геометрии. Суть метода проста, как и всё гениальное: некоторые предложения - аксиомы или постулаты - принимаются без доказательства; все же остальные предложения данной конкретной теории логически выводятся затем из этих аксиом. Аксиомы образуют “базис” системы, в то время как теоремы, получаемые из аксиом при помощи логических законов, - это “надстройка”. Всё!
«Аксиоматическое построение геометрии произвело глубокое впечатление на мыслителей всех времён - ведь совсем небольшого числа аксиом оказалось достаточным, чтобы из них можно было вывести необозримое количество теорем. Более того, если каким-либо образом можно было удостовериться в истинности аксиом, а фактически на протяжении почти двух тысячелетий большинство учёных считало истинность аксиом само собой разумеющейся, то это уже автоматически обеспечивало истинность всех теорем и их совместимость. Поэтому аксиоматическое изложение геометрии в глазах многих поколений учёных представлялось своего рода идеальным образцом научного знания. И вполне естественно было задать вопрос, можно ли другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе. Тем не менее, хотя некоторые разделы физики формулировались аксиоматически ещё в античные времена (например, Архимедом), до недавнего времени геометрия в глазах большинства учёных представлялась, по сути дела, единственной областью математики, построенной на аксиоматической базе. Однако в течение последних двух столетий аксиоматический метод стал применяться всё более широко и интенсивно. И для новых областей математики, и для более традиционных её разделов, таких, например, как общая арифметика целых чисел, были сформулированы системы аксиом, представляющие эти математические дисциплины адекватным образом. В результате укоренилось довольно прочное убеждение, что для любой математической дисциплины можно указать перечень аксиом, достаточный для систематического построения всего множества истинных предложений данной науки» /«Доказательство Гёделя» Эрнест Нагель и Джеймс Ньюмен/...
---------------------------------------------------------

Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899 год) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идея построения модели одной математической структуры на базе другой использовалась и до Гильберта, - только он реализовал её с исчерпывающей полнотой, красотой и изяществом. Гильберт не только дал полную аксиоматику геометрии, но также детально проанализировал эту аксиоматику, доказав независимость каждой из своих аксиом. Гильберт также создал метаматематику и чётко сформулировал требования к идеальной аксиоматической теории вообще: непротиворечивость, полнота, независимость аксиом.
В 1900 году в столице Франции состоялся II Международный конгресс математиков. На заседании секции преподавания и методологии Гильберт читал доклад об основных проблемах математики, решение которых должно быть найдено в наступающем ХХ веке. В том же году был опубликован список 23-х проблем Гильберта.
«Кто из нас не был бы рад приоткрыть завесу, за которой лежит сокрытое от нас будущее, окинуть взглядом грядущие достижения нашей науки и тайны её развития в предстоящие столетия? Каковы будут те особенные цели, к которым будут обращаться ведущие математические умы грядущих поколений?» /Гильберт, 1900 год/…

Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики? Во-первых, обоснование её новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой из этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, - наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы, например, проблема Кантора о мощности континуума (континуум-гипотеза) и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел (знаменитая гипотеза Римана, не решённая до сих пор), математическое изложение аксиом физики, классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений и т.д....

Под вторым номером в том списке значился вопрос непротиворечивости аксиом арифметики. И это стало центральной проблемой оснований математики, поскольку арифметика (или теория чисел) наряду с геометрией является краеугольным камнем всей математики вообще. Данный вопрос допускал и иную трактовку, метафизическую: самодостаточна ли математика? может ли и должна ли она развиваться по своим собственным, от природы заложенным в неё законам, вне зависимости от воли и помощи человека, вне зависимости от вмешательства извне?
Вторая проблема Гильберта сводилась по сути к необходимости строго доказать, что любая система аксиом - базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств - совершенна и полна, сиречь позволяет математически описать всё сущее. И ещё требовалось доказать, что система аксиом арифметики взаимно непротиворечива, и из неё можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого суждения. Непротиворечивость - это основополагающий научный принцип математики. Математическая теория является непротиворечивой, если в ней отсутствуют взаимоисключающие предложения. Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто.
Опубликование Гильбертом в 1900 году списка 23-х первоочередных проблем стало важным звеном в его колоссальном по важности проекте построения теоретической основы с помощью «аксиоматического метода» для разработки алгоритмов и приёмов, необходимых для решения любой математической задачи. ЛЮБОЙ!!! «Это была цель, согласующаяся с видением и непоколебимой верой Гильберта в способность математики находить ответы на все вопросы. Это было движущей силой и общей нитью успешной карьеры, которая началась в 1886 году, когда он получил должность приват-доцента (доцента) в Кёнигсбергском университете, и это в конечном итоге привело его к тому, что он стал архитектором современной математики…»
К 1922 году у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путём её полной формализации с последующим метаматематическим доказательством непротиворечивости формализованной математики. Для осуществления этой программы Гильберт, продолжая работы Фреге, разработал строгую логическую теорию доказательств, с помощью которой непротиворечивость математики свелась бы к доказательству непротиворечивости арифметики.
Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П.Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах.
Гильберт заносчиво полагал, что «аксиоматический метод» может стать основой не только математики, но и всей науки в целом. В 1930 году в статье «Познание природы и логика» он писал: «...даже в самых обширных по своему охвату областях знания нередко бывает достаточно небольшого числа исходных положений, обычно называемых аксиомами, над которыми затем чисто логическим путём надстраивается всё здание рассматриваемой теории»…

2

Итак, воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии», Давид Гильберт в начале 20-го века самонадеянно объявил мiру великую цель - построить всю математику (а впоследствии - и физику) на единой логической основе, предварительно полностью формализовав царицу наук, приведя её так сказать к единому и неделимому знаменателю. И поначалу были обнадёживающие подвижки на этом благородном пути, надежды на лучшее.
Какими были бы последствия успеха Гильберта и его школы для дальнейшего развития науки? - давайте попробуем предугадать. Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к некоторой достаточно полной системе аксиом и правилам работы с ними, - то их, аксиомы, можно было бы ввести в современный компьютер. И он, компьютер, по заложенной в него программе был бы способен тогда легко обосновывать любое утверждение (доказать любую теорему и решить любую задачу), вытекающее из исходных утверждений. Компьютер в таком случае полностью заменил бы человека в изучении природы и мiра, и человек как творец был бы уже не нужен…

Однако этого не произошло - слава Богу! - и «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся супер-амбициозная и поистине грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мiра, была опровергнута одной-единственной теоремой о неполноте: «Любая формальная система либо неполна, либо противоречива». Её автором был австрийский математик Курт Гёдель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет...

Давайте, Читатель, открутим время назад и ещё разок вспомним вкратце про появление на свет наивной теории множеств. Многим математикам показалось тогда, что благодаря исследованиям Кантора математика должна стать более стройной и единой - перейти в состояние, которое Гильберт назвал “раем”. Когда обнаружились противоречия в теории множеств, учёные стали выражать сомнения в самих основаниях математики, и тот же Гильберт написал запальчиво: «Никому не дано изгнать нас из канторовского рая!»
Из канторовского рая математиков и логиков, в итоге, изгнал Курт Гёдель - один из наиболее выдающихся мыслителей XX века.
Молодой математик и логик Гёдель был прекрасно осведомлён о мечте-идее своего великого современника Гильберта, громогласно провозгласившего благую и желанную цель вслед за геометрией аксиоматизировать всю математику вообще. Для завершения этой грандиозной программы Гильберту оставалось сделать всего-то один шаг - доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел.
Но этого так и не произошло в итоге - и не могло произойти: по определению, что называется. 7 сентября 1930 года в Кёнигсберге прошёл научный конгресс по основаниям математики, на котором 24-летний Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована, увы. Потому что при любом выборе аксиом арифметики - ЛЮБОМ - будут всенепременно существовать теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми (финитными) средствами, которыми и оперировал Гильберт в своей работе. Так что финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно.
«Это выступление не было заявлено заранее и произвело ошеломляющий эффект, Гёдель сразу стал всемирной знаменитостью, а программа Гильберта по формализации основ математики потребовала срочного пересмотра. Статья с обеими теоремами («О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и