натуральных чисел. Потенциальная бесконечность - это когда мы рассматриваем, к примеру, ряд натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д. и вместе с каждым числом мы чётко держим в уме, что можем взять и следующее число, т. е. без-конечность ряда натуральных чисел представляется нам как процесс. В этом случае мы говорим о потенциальной без-конечности. Натуральный ряд можно представить как ряд «развивающийся», «строящийся» по принципу (n+1); сиречь любое натуральное число может быть получено из предыдущего путем добавления к нему единицы.
Если же мы представим, что охватили, допустим, все натуральные числа сразу, как единое множество, и поместили их в некую капсулу, изолировав от остальных, - в этом случае, мы будем иметь дело уже с актуальной без-конечностью. Такой числовой ряд можно уже рассматривать как “завершённый” ряд, заданный всеми своими членами одновременно. Актуальная без-конечность, таким образом, представляет собой некий “сосуд” или “вместилище”, в котором разворачивается ряд потенциальной без-конечности.
«Множество - это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно». Такое определение множеству в математике дал Георг Кантор, родоначальник новой теории.
Далее напомним читателям, что великий и ужасный Аристотель категорически возражал против использования актуальной без-конечности в математике, ссылаясь на то, что, зная-де способы счёта конечного числа объектов, нельзя эти способы распространять на без-конечные множества: там они могут и не работать. Справедливое возражение, согласитесь! Аристотелю же принадлежит и знаменитый тезис «Infinitum Actu Non Datur», что в переводе с латыни означает утверждение о невозможности существования логических или математических (т.е. мыслимых, а не существующих в природе) актуально-без-конечных объектов. В итоге, благодаря Аристотелю, математики отвергли концепцию актуальной без-конечности на долгие времена.
В 17 веке другой гений, Галилео Галилей, вторя Аристотелю, глубокомысленно заявлял, что если, мол, в математике принять без-конечные актуальные (завершённые) множества, то «парадоксальным образом, чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе взятых». Каково?!!!
С Аристотелем и Галилеем полностью согласны и некоторые современные достаточно крупные математики. Вот что думают о индукции и дедукции Э.Касснер и Д.Р.Ньюмен, которых мы уже цитировали выше, но здравые рассуждения которых не грех и повторить: «Когда математик говорит, что такие-то утверждения истинны для некоторого объекта, то это может быть интересно и наверняка безопасно. Но когда он пытается распространить свое утверждение на все объекты, то хотя это значительно более интересно, но и намного опаснее. В переходе от одного ко всему, от специального к общему математика добилась своих величайших успехов, но и испытала свои самые серьёзные неудачи, самую важную часть которых составляют логические парадоксы»…
3
И, тем не менее, призрев мнениями Аристотеля и Галилея, немецкий математик-вундеркинд Георг Кантор (1845-1918) (основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков) разрабатывает свою теорию множеств в надежде максимально приблизиться, как это представляется теперь, к разрешению парадоксов Зенона.
---------------------------------------------------------
(*) Краткая биография Кантора.
«Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 г. в России, в Санкт-Петербурге. Его мать, Мария Анна Бём, происходила из семьи талантливых музыкантов; наиболее известным был её дядя Жозеф Бём, директор консерватории в Вене и основатель школы скрипачей, откуда вышли многие виртуозы того времени. Его отец Георг Вольдемар Кантор был удачливым коммерсантом и благочестивым лютеранином, передавшим сыну глубокие религиозные убеждения.
Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. В 1860 году Георг окончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете - крупнейшем центре математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле - респектабельном учреждении, но не столь престижном для математиков, как университеты в Гёттингене или Берлине. Один из его коллег в Галле, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и он побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию безконечных множеств.
В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман. У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в «Журнале Крелле» статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше.
Кантор вышел на пенсию в 1913 году, живя в бедности и страдая от недоедания во время Первой Мiровой войны. Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз поступил в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой. 6 января 1918 года у Георга Кантора случился смертельный сердечный приступ. Однако его теория множеств в конечном итоге стала общим языком, используемым в различных разделах современной математики». /Википедия/
---------------------------------------------------------
В 1873 году Кантор вводит в научный оборот произвольное (конечное или же без-конечное) числовое множество - предельно абстрактное понятие в математике.
«Множество - это единое имя для совокупности всех объектов, обладающих заданным свойством», - так говорил сам учёный про своё детище!!!
Кантор первым из математиков показал, что существуют без-конечные множества разных размеров. В 1874 году он публикует статью, в которой вводит понятие мощности множества (обобщение понятия количества) и показывает, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше.
Далее, с помощью взаимно-однозначных отображений он вводит ключевое понятие равномощности множеств, потом определяет сравнение мощностей на “больше-меньше” и, наконец, классифицирует множества по величине их мощности - конечные, счётные, континуальные, - определяет понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел. Тем самым в математику была введена на равных правах актуальная безконечность - крамольная и непостижимая вещь по сути, которую прежние корифеи математики от Аристотеля и до Гаусса включительно старательно и сознательно избегали: боялись её трогать во избежание головных болей и проблем.
В 1877 году Кантор получает поразительное открытие, выяснив с помощью всё тех же взаимно-однозначных отображений, что множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность (континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Сиречь мощность двумерного континуума оказалась равной мощности континуума одного измерения.
Результат, полученный Кантором, оказался настолько парадоксальным, далёким от логики, интуиции и здравого смысла, что в письме к другому и апологету теории множеств Рихарду Дедекинду, он прямо написал:
«Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя и на протяжении многих лет я придерживался противоположного мнения».
Одновременно с этим Кантор сформулировал и безуспешно пытался доказать «континуум-гипотезу», получившую впоследствии почётный первый номер в списке 23-х знаменитых проблем Д.Гильберта! - настолько важной и значимой она оказалась для будущего развития математики.
А первая статья Кантора с изложением всех этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась «К учению о многообразиях» (этот термин Кантор впоследствии заменил на множество)…
Из всего вышеизложенного можно сделать однозначный вывод, что Кантор первым из мiровых математиков предпринял отчаянное и широкое исследование математической без-конечности, получив при этом абсолютно новые и парадоксальные результаты. Он наполнил математическим содержанием идею актуальной без-конечности. Разработанная им теория множеств за счёт включения понятия актуальной без-конечности означала, по сути, РЕВОЛЮЦИЮ в истории естествознания, сравнимую с работами Пифагора и Коперника, неевклидовой геометрией, теорией относительности и квантовой механикой. Ведь до конца 19-го века ни одному математику мiра не удавалось формализовать понятие без-конечности - из трусливого осознания, что это-де абсолютно недостижимая величина. Георг Кантор был первым, кто обратился к такому непостижимому абстрактному объекту. Мало того, разработав теорию множеств, он пришёл к потрясающему выводу, что без-конечность без-конечности рознь; что, оказывается, существуют без-конечности разных размеров - счётные и континуальные...
Через несколько лет после его смерти его горячий поклонник и сторонник Давид Гильберт написал, что трансфинитная арифметика - это «...лучший продукт математического гения и одно из высших достижений чисто интеллектуальной человеческой деятельности».
«…По идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, всё выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил жизнь. Учёный твёрдо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями» /Советский учёный Стахов Алексей Петрович (1939-2021)/…
4
Ну и как водится в жизни и в науке, тот первый - “наивный” - вариант теории Кантора о трансфинитных числах первоначально был воспринят большинством крупных математиков Европы с большой долей скепсиса - как разрушающий-де многовековые традиции и устои,
