Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

ударило и по «Механической Системе Мiра» Ньютона, и по сциентизму, и по вере в разум человека вообще как могучему средству познанья Вселенной…

Начало кризису, как известно, положило открытие неевклидовой геометрии, безупречной с точки зрения логики и здравого смысла; геометрии, включавшей в себя евклидову лишь в качестве частного случая - только-то и всего! Представляете себе, каков произошёл тогда переворот в сознании и умах учёных людей планеты! «Начала» Евклида как абсолютная истина на протяжении многих веков, краеугольный камень, начало начал, вдруг перестали существовать как эталон, как образчик, как база, как точка отсчёта! А вместе с этим пошатнулось и само понятие реальности в том абстрактном смысле, который в него вкладывали до сих пор.
Событие эпохальное, согласитесь, первостатейное, знаковое! Мимо него просто так не пройдёшь с брезгливой и ленивой скукой. Поэтому давайте-ка снова ненадолго здесь остановимся, дорогие мои читатели и друзья, и попробуем поподробнее рассмотреть и понять, что же такого сделал когда-то для мiровой науки Евклид. Человек, который как бы знаменует и олицетворяет собой всю Античную науку в целом, и работами которого историки, как правило, уже завершают рассказ про Древнюю математику (хотя Архимед и Аполлоний жили и творили позже). И что ему в итоге противопоставил русский гений Лобачевский, сдвинувший Евклида через столько-то лет на обочину мiрового развития и прогресса…

Итак, около 300 года до н.э. (согласно скалигеровской хронологии, напомним и подчеркнём, потому что в действительности всё могло происходить по-другому) первый математик Античности Евклид пишет и выпускает в свет целый корпус своих сочинений, который он называет «Начала». Это был поистине выдающийся и многогранный труд, содержавший практически все известные к тому времени математические сведения и наработки, умело систематизированные и формализованные при помощи правил логики и дедуктивного метода. Исключение составили лишь теория конических сечений, которая была достаточно уже развита, но которую почему-то обошёл стороной Евклид; отсутствуют в «Началах» и вычислительные методы.
И, тем не менее, «Начала» были поистине без-ценны по своему уникальному значению для Истории. Они стали первым и единственным учебным пособием на многие века для молодых математиков мiра и считались нерушимой основой всей древней геометрии. Первая печатная версия «Начал» появилась в Венеции в 1482 г. Это был перевод с арабского языка на латинский.
«Начала» состоят из 13 книг, содержащих 463 утверждений, 372 теоремы и 93 задачи. Основы учения Евклида сформулированы в Первой книге, которая содержит 23 определения, 5 постулатов и 48 предложений.
В Первой книге Евклид формулирует пять знаменитых постулатов:
I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.
III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекаются друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко…
К первым четырём постулатам претензий и нареканий не было никогда и никаких, - а вот последний пятый по счёту постулат сразу же стал вызывать большие и устойчивые сомнения у профессионалов в качестве универсальной и абсолютной истины. И лукавой формулировкой своей, в первую очередь, совсем даже не очевидной и не интуитивно ясной, а больше смахивавшей на теорему, нуждающуюся в доказательстве. А ещё тем, что данным постулатом вводилось в обиход понятие параллельных прямых, которые можно продолжать неограниченно. Сиречь Евклид, может и сам того не осознавая в полной мере, фактически вводил в математику понятие без-конечности, которое учёные достаточно долго вообще исключали из числа легальных математических объектов...

Жаркие споры вокруг 5-го постулата и основанной на нём геометрии длились долго - до начала 19-го века фактически! И кончались они ничем: монументальная геометрия Евклида оставалась в неприкосновенности в итоге, как и сам постулат. Хотя в литературе с момента выхода в свет «Начал» появилось около сотни новых формулировок 5-го постулата, которые казались авторам более очевидными и простыми. А уж сколько было попыток за сотни лет доказать или же опровергнуть постулат о параллельных! - про то и сказать невозможно! Великое множество раз! Да только к разрушению сооружённого Евклидом здания они не приводили ни сколько, не были способны привести по причинам интеллектуальной и логической слабости и неубедительности. Больше скажем, величайший европейский мыслитель Иммануил Кант считал, что 3-хмерное пространство, основа «Начал»,  является той системой отсчёта, что существует в человеческом сознании с момента рождения и до смерти. И, следовательно, аксиомы и постулаты геометрии Евклида являются предопределенным, или же субъективным, вложенным в нас знанием; являются понятиями, одним словом, априори запечатленными в мозгу человека на века. Без этих аксиом и постулатов невозможно, мол, даже и рассуждать о пространстве: всё будут напрасные хлопоты и блуждания в потёмках.
И, тем не менее, Кант был первым, кто допускал возможность - именно так! - существования и другого типа геометрий и пространств. В своей работе, опубликованной в 1746 г., он например рассматривает пространство с более чем тремя измерениями и говорит:
«Если возможно существование пространств с другими измерениями, то, скорее всего, Бог создал бы их, ибо Его творения заключают в себе всё величие и разнообразие, на которое они способны».
Пространства, которые осторожно предсказывал Кант ещё в середине 18-го века, являются известные в наше время Многомерные Неевклидовы Геометрии...

12

Итак, многие математики, жившие после Евклида и пытавшиеся убедить чопорный научный мiр, что 5-ый постулат не является очевидной истиной, что он избыточен в своей формулировке и может быть доказан как теорема на основе других аксиом, - все они потерпели полную неудачу и были осмеяны и забыты. Хотя и были правы по сути своей, как это теперь с очевидностью выясняется…

И только в XIX веке эту древнюю головоломную загадку разрешил наконец - ПЕРВЫМ из землян! - профессор Казанского университета Н.И.Лобачевский. История геометрии Лобачевского - это история попыток доказать или опровергнуть пятый постулат - последнее и самое сложное предположение, включенное Евклидом в его геометрическую аксиоматику.
Николай Иванович долго и упорно пытался вывести различные последствия, основываясь на отрицании пятого постулата, надеясь, что рано или поздно он придёт к противоречию. Однако он доказал многие десятки теорем, но логических противоречий не обнаружил. Парадокс, да и только!… И тогда он догадался, он понял, что геометрия, в которой пятый постулат заменён его отрицанием, не противоречит евклидовской, а лишь расширяет её. Лобачевский назвал эту геометрию воображаемой. Впоследствии она кардинально изменила понимание современных учёных-естествоиспытателей физической реальности и коренным образом повлияла на работы Пуанкаре и Гильберта по т.н. теории относительности…

---------------------------------------------------------
(*) Краткая биография Лобачевского, взятая из энциклопедического словаря.
«Н.И.Лобачевский происходил из бедной семьи государственных служащих. Родившись в Нижнем Новгороде, он большую часть жизни провёл в Казани, ведя аскетичный образ жизни и полностью посвятив себя математике. Молодой Николай смог получить образование благодаря государственной стипендии и оказался удачной инвестицией царской России. В 1814 г. он получил место преподавателя в Казанском университете, а через два года стал экстраординарным профессором. Он также отвечал за библиотеку и астрономическую обсерваторию. В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он занимал этот пост в течение 19 лет, которые стали периодом процветания университета. Лобачевский провёл фундаментальные реформы и всячески поддерживал научные исследования. Парадоксально, но его блестящие результаты в работе над пятым постулатом привели к его увольнению. Согласно одной из мрачных легенд в истории математики, в 1846 г. Лобачевский был уволен ведущим математиком того времени Михаилом Остроградским, который не мог принять того, что Лобачевский бросил вызов самому Евклиду. Здоровье Лобачевского начало быстро ухудшаться, и в конечном итоге он потерял зрение. Ему пришлось диктовать многие из своих работ, в том числе свой последний труд «Пангеометрия» (1855). Умирая в Казани 24 февраля 1856 г., он понятия не имел о том, насколько была важна его работа для дальнейшего развития математики. Его научное наследие включает такие работы, как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834–1838). В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу в 60 страниц, озаглавленную «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта короткая работа широко разошлась в научных кругах того времени, но, несмотря на это, математическое сообщество было не готово принять заключенные в ней идеи…»
---------------------------------------------------------

Итожим сказанное, крайне важное для дальнейшего понимания смысла данной работы. Итог же таков, что в первой половине 19-го века в противовес Евклидовой появляются новые Неевклидовы геометрии - гиперболическая геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия Римана! - открытия, потрясшие научный мiр.
Под геометрией математики стали уже понимать теорию, что описывает свойства абстрактных точек и линий. Всё! До этого же считалось, что геометрия - это система, кодифицированная Евклидом.
И самой первой Неевклидовой геометрией - с гордостью скажем это! - была Гиперболическая геометрия Лобачевского, которая возникла путём замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:
«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной».
И этим утверждением Лобачевский закрыл наконец проблему 5-го постулата, провозгласив рождение новой Неевклидовой геометрии, где этот постулат не работает по определению.
23 февраля 1826 г. Николай Иванович поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых на конференции, состоявшейся на физико-математическом факультете Казанского университета. Его первые результаты были опубликованы в 1829 г. в журнале Казанского университета. В 1835 г. он опубликовал работу целиком под названием «Новые начала геометрии», где утверждал:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В