Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

прежде всего, заложенные ещё математиками Древности. Традиции, принципиально и категорически отрицающие актуальную без-конечность как легальный математический объект.
Чтобы избегать парадоксов, математики до Кантора правомерной считали лишь потенциальную без-конечность. В связи с чем в 1831 г. своё отношение к завершённым без-конечностям Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выразил словами: «Что касается Вашего (Кантора - А.С.) доказательства, я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершённой, в математике это никак не допустимо. Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела».
Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что выдающийся французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) назвал теорию без-конечных множеств “болезнью”, от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер (1823-1891) - университетский учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора лично, называя его “шарлатаном”, “ренегатом” и “растлителем молодежи”…
Но, к счастью, была и другая группа математиков, особенно молодых, кто приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем и задач. Среди них - Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн, Анри Лебег, Феликс Клейн, Адольф Гурвиц, Эрнст Цермело, Н.Н.Лузин и другие...

Сам Кантор до последнего верил в то, что его теория трансфинитных чисел - не интеллектуальная забава гения и не выпендрёж, не игра больного воображения. Наоборот, она была сообщена ему якобы свыше как Откровение. И, значит, имеет онтологический статус, как и теологический и реальный смысл… Но стоило ему это всё очень и очень дорого. Столкнувшись с открытым неприятием своих идей со стороны учёного сообщества, Кантор сильно и много страдал от последовательных нервных срывов, пока не умер в психиатрической лечебнице…

Со временем “наивная” канторовская теория множеств была отлажена и вычищена от парадоксов (правда, это признают не все), поставлена на твёрдую аксиоматическую основу; после чего она по праву заняла место этакого краеугольного камня в современном построении оснований математики. На неё, к тому же, опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и другие важнейшие разделы математики. И сам этот факт о многом уже говорит…

5

А теперь, в свете всего вышесказанного, давайте попробуем реконструировать ход рассуждений Георга Кантора, мысленно представить, зачем он мучился, создавая свою теорию множеств, выслушивал упрёки и нападки коллег - ядовитые и нешуточные порой? И как это всё могло у него происходить - по какой именно внутренней логической схеме? 
Безусловно и очевидно, что он, обладая фундаментальным математическим образованием, был хорошо знаком и с геометрической теорией движения пифагорейцев, и с парадоксами Зенона, заставлявшими сомневаться в ней. И, вероятно, попытался понять, как непрерывное и дискретное (прерывное) сосуществуют в природе и в математике, и есть ли между ними связь? или же хоть какой-то гипотетический мостик? И адекватно ли отражает реальное физическое движение его математическая модель? И насколько адекватно? насколько можно доверять ей?
Это особенно было важно и нужно сделать - понять - после трудов Рене Декарта (1596-1650), введшего в научный обиход свой знаменитый метод координат для удобства работы и изучения геометрических объектов с помощью арифметических, численных или дискретных методов.
Система координат Декарта состояла из двух сначала, а потом и из трёх взаимно-перпендикулярных геометрических линий, или прямых - непрерывных математических объектов по определению. Они были названы осями координат или числовыми осями, на которых - по мысли отца-основателя - всюду плотно и равномерно были расположены другие математические объекты: вещественные числа - натуральные, рациональные, иррациональные и трансцендентные (к которым со временем исследователи добавили ещё супердействительные и гипервещественные), - заполняющие собой всю числовую ось. 
И перед гением Кантора по-видимому возник очевидный вопрос: это все числа, которые расположены на каждой из трёх осей? Или существует великое множество других чисел, пока что неизвестных науке?... А если это так, то как описывать и возможно ли описывать их обычными конечными множествами и финитными методами? И как вообще средствами арифметики, вещественными (действительными) числами, можно адекватно, то есть исчерпывающе и однозначно, описывать и отображать геометрическую непрерывность прямой линии?... Или по-другому: как геометрический континуум абсолютно, точно и строго соединить с числовым континуумом, наложить один на другой? как они соотносятся друг с другом? И соотносятся ли вообще? Не появятся ли там при наложении “пустоты”?... Да и существует ли он, континуум вещественных чисел, континуум числовой оси? поддаётся ли описанию и изучению? - если у точки, ЛЮБОЙ, лежащей на прямой, не существует соседней! Какую соседнюю точку ни выбери для примера, сколь угодно близко расположенную к выбранной, меж ними всенепременно окажется без-конечное множество других точек. Причём ровно столько же, как и на всей числовой оси. Парадокс, да и только! Диво дивное, или же чудо какое-то из чудес, не доступное для понимания и осмысления!... И вообще, континуум вещественных чисел - это множество, даже и самое мощное, огромный набор чего-то, что можно пощупать, измерить и пересчитать? Или же это нечто качественно принципиально иное, имеющее иную, не точечную, структуру и статус? Божественный статус и божественное начало, если хотите, начало начал, из которого всё и рождается как из чёрной дыры! Вся математика, по крайней мере!...

Тогда всенепременно и даже жизненно необходима теория множеств: чтобы хотя бы приблизительно понимать, что есть такое числовой континуум и как с ним работать дальше. Без такого понимания математики с места не сдвинутся, или же как слепые котята будут ходить по кругу, людей смешить… Разрабатывая же и развивая теорию множеств, математики будут автоматически развивать и теорию вещественного числа, которую везде и вовсю теперь применяют. Но как можно применять в исследованиях и расчётах то, что до конца не выяснено и не познано? Это обязательно приведёт к новым парадоксам “нового Зенона”…

6

Такие приблизительно или схожие мысли должны были роиться в голове молодого Кантора, когда он задумывался над созданием новой математической теории - теории множеств, имеющей дело с актуальной без-конечностью. С Божьим Промыслом - понимай, с Вечностью. Автор это дело видит именно так.
И на первых порах, как уже было сказано, канторовская теория множеств встретила в научном мiре в целом достаточно холодный и сухой приём - из-за своей очевидной революционности. Но она, тем не менее, помогла успешно разрешить некоторые нетривиальные вопросы: обобщить жорданову теорию меры, например; плюс к этому, она успешно стала использоваться в теории интеграла Лебега. Поэтому критики и недоброжелатели поутихли на время, а сторонники и некоторые горячие головы стали рассматривать её уже чуть ли ни как панацею от всех методологических казусов и проблем, и, одновременно, как будущий могучий фундамент вообще всей математики.

---------------------------------------------------------
(*) Мера Жордана - один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объёма в n-мерном евклидовом пространстве.
(*) Интеграл Лебега - это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Отметим, что все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми и по Лебегу; причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. К данному классу принадлежат функции, имеющие точки разрыва: с такими функциями интеграл Римана не работает.
Критерий Лебега гласит: «Функция интегрируема на конечном отрезке числовой прямой тогда и только тогда, если множество её точек разрыва есть множество меры ноль».
---------------------------------------------------------

До появления противоречий (антиномий) подобное происходило, возникавших в результате совершенно корректных рассуждений, которые не удавалось сгладить ни с помощью привычной логики, ни интуицией: без-конечные объекты исследования логику и интуицию, понятное дело, полностью исключали.
Первое противоречие обнаружилось быстро: при рассмотрении самого большого множества - множества всех множеств. И его пришлось исключить из теории как недопустимое (что уже покоробило многих).
Ну а потом противоречия посыпались как из худого ведра горох в виде известных всем парадоксов:
- парадокс Бурали-Форти;
- парадокс Кантора;
- парадокс Рассола;
- парадокс Тристана Шенди;
- парадокс Банаха-Тарского;
- парадокс Хаусдорфа;
- парадокс Скулема.
Большинство из указанных парадоксов были открыты на рубеже 19-го и 20-го веков в результате абсолютно корректных рассуждений, повторим. Они-то и стали последним, самым звонким аккордом или тревожным гудком очередного, третьего по счёту, кризиса первооснов математики, начало которому, напомним, положил русский учёный Николай Иванович Лобачевский своей неевклидовой геометрией…

Положение усугубило опубликование шокирующей и губительной «аксиомы выбора» (1904, Цермело). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого вообще ничего не известно…

Обнаружение антиномий в теории множеств сотрясло математику, поставив под сомнение самые её основы. «Подумайте, - с ужасом сокрушался Давид Гильберт, - в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям!!! Где же тогда искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?...»
В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия - парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. В письмах Кантор выразил мнение (абсолютно разумное и справедливое, на скромный авторский взгляд), что в дальнейшем, чтобы избежать парадоксов, в теории множеств следует строго разграничить два различие типа понятий - трансфинитные и абсолютные («недоступные»). Из них, дескать, только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению, не больше того.
Но максималиста и сугубого реалиста-Гильберта эта канторовская метафизика не устроила. Потому что, по его твёрдому убеждению, которое он пронёс через всю свою славную и необычайно насыщенную в творческом плане жизнь, НЕРАЗРЕШИМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НЕТ И БЫТЬ НЕ МОЖЕТ! Человеческий разум всемогущ - потому что являет собой часть Божественного Разума, или Абсолюта!...

Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее общепринятым) было найдено только через 30 лет - после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую, исключившую «недоступные» множества из числа