Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

требует эстетических способностей, которыми не все обладают.
Пуанкаре предлагает очень интересную схему математического творчества. Он связывает его с делением человеческой психики на сознательную и бессознательную части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор, основанный на эстетическом принципе, некий эстетический барьер позволяет лишь небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там как готовая идея решения, причём это сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остаётся лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.
Эта схема, очевидно, напоминает картину эволюции, основанную на мутациях и естественном отборе, и, вероятно, возникла под её влиянием. Гораздо позже, видимо, не зная об идеях Пуанкаре, Конрад Лоренц высказал аналогичные мысли. Он рассматривает жизнь как “процесс обучения”, “познавательный процесс”. Он подчёркивает черты, общие обоим явлениям - мышлению и эволюции, - такие, как “творческое озарение”, “творческий акт”, когда после долгих поисков “почти мгновенно” возникает новая идея или новый вид. Но можно эту аналогию обратить и взглянуть на эволюцию как на результат деятельности некоего гигантского интеллекта или души Природы. Концепция “anima mundi” (души Природы) возникала в различных философских и мистических учениях: у Платона, в христианстве. Когда в молодости я читал работы Пуанкаре, мне пришла в голову мысль об эволюции как процессе мышления; она показалась очень привлекательной. Только много позже я узнал, что ещё до Дарвина знаменитый естествоиспытатель Л.Агассис рассматривал эволюцию как “мышление Бога”. Но если продолжить эту аналогию, то насколько красивее окажется точка зрения Пуанкаре сравнительно с принятой сейчас концепцией: решающим фактором в эволюции оказывается не “борьба за существование”, а эстетический критерий. Тогда становится понятным, почему природа порождает не только прекрасные растения и животных, но и решения проблемы адаптации видов, которые по красоте не уступают самым совершенным научным теориям» /И.Р. Шафаревич/...
----------------------------------------------------------

Предшественники данного направления: Рене Декарт, Эммануил Кант, Леопольд Кронекер, Анри Пуанкаре. Развил же и довёл до совершенства идеи интуиционизма всего один человек - Лёйтзен Брауэр в 1910-е годы.
Лёйтзен Э́гберт Ян Бра́уэр (1881-1966) - голландский философ и математик, работавший в таких областях как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ. Положил начало новому направлению в математике - интуиционизму. Подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А.Гейтингом и не содержащей указанных законов (это из Википедии).
Философские принципы интуиционизма Брауэра таковы.
Логисты и формалисты видели в парадоксах классической математики заболевание, которое требует лечения и которое можно вылечить, если подобрать подходяще логическое лекарство. Интуиционисты считали парадоксы симптомом болезни, лечение которой требует полной перестройки всей математики. Самая радикальная программа такой перестройки как раз и была предложена Брауэром.
«По его мнению, положение дел в обосновании математики в начале XX в. представляет следствие изменений ведущих философских установок на отношение математики к опыту, языку и логике. Основной тренд этих изменений - сдвиг интереса от объекта к субъекту и, как следствие, постепенное освобождение математики от диктата опыта, языка и логики.
Убеждение в безусловной точности законов математики, полагает Брауэр, являлось предметом дискуссии многие сотни лет и в конце концов привело к возникновению двух соперничающих школ - интуиционизма и формализма (к которой Брауэр причисляет и логицизм). Интуиционисты признают в качестве источника точности математики человеческий интеллект, формалисты - бумагу.
«В философии Канта, - писал Брауэр, - мы находим старую форму интуиционизма, ныне почти отброшенную, в которой время и пространство считаются априорными формами чувственности, прирожденными человеческому разуму. Для Канта аксиомы арифметики и геометрии - априорные синтетические суждения, т. е. суждения, независимые от опыта и недоказуемые аналитически; именно этим объяснялась их аподиктическая точность в мире опыта и в абстракции. Поэтому для Канта возможность экспериментального опровержения арифметических и геометрических законов не только исключалась твёрдым убеждением в их истинности, но и была просто немыслима.
Диаметрально противоположна точка зрения формализма, который утверждает, что человеческий разум имеет в своём распоряжении образов прямых линий или чисел, скажем, не более десяти, и поэтому источник этих математических объектов находится не в нашем представлении природы, а в самой природе... Для формалиста, следовательно, математическая точность сводится к созданию метода вывода одних отношений об объектах из других и не зависит от значения, которое можно приписать этим отношениям или связываемым ими объектам»...» /выдержка из математического словаря/…

Идеи Брауэра впоследствии активно защищали Герман Вейль и Аренд Гейтинг. Главное правило или вдохновляющий девиз учёных этого направления - «аксиоматизация и доказательство непротиворечивости – напрасный труд: интуиция не содержит противоречий»...

ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ФОРМАЛИЗМ.
Напомним читателям, что точка зрения Канта на априорный характер окружающего человека пространства, прекрасно описанного Евклидом, оказалась сильно поколебленной открытиями Лобачевского и Римана. Стало ясно как дважды два, что геометрия более не является наукой о свойствах одного единственного реального с точки зрения чувств 3-мерного пространства. Материальный мiр в действительности оказался куда сложней и замысловатей, чем думали про него раньше. А это значит - надо было менять и научные представления о нём.
Безуспешные попытки разрешения парадоксов теории множеств привели математиков к убеждению, что причины глобального кризиса «царицы наук» лежат в области фундаментальных понятий и способах рассуждений. Назрела необходимость переосмысления принципов математики и отказа от некоторых старых концепций.
Ободрённые этими открытиями формалисты предположили, что математические формализмы, как и логические истины, не являются абстракциями опыта и попытались вообще устранить всякое различие между логикой и математикой, доказать их полное единство. Ими двигало страстное и похвальное желание доказать непротиворечивость всей математики, избавить её раз и навсегда от существующих и будущих парадоксов.
Лидером этого направления стал Давид Гильберт, самый выдающийся мыслитель и творец за всю мiровую историю естествознания (на скромный авторский взгляд), которого по праву считают архитектором современной математики.
«Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним. Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе» /Герман Вейль/.

----------------------------------------------------------
(*) «Дави́д Ги́льберт (1862-1943) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих европейских академий наук, иностранный почётный член Академии наук СССР (1934). Лауреат премии имени Н.И.Лобачевского (1903). В 1910-1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мiровым лидером математиков.
Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств, одна из основ современного функционального анализа. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.
Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:
- Теория инвариантов (1885-1893).
- Теория алгебраических чисел (1893-1898).
- Основания геометрии (1898-1902).
- Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
- Теория интегральных уравнений (1902—1912).
- Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
- Математическая физика (1910—1922).
- Основания математики (1922—1939)» /Википедия/.
----------------------------------------------------------

«Программа обоснования математики на базе математической логики с помощью «аксиоматического метода» была сформулирована Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже. Именно с предпринятой в начале XX века Гильбертом разработки теории доказательств на базе развитого в работах Фреге и Пеано логического языка обычно связывают становление математической логики. Предложенный Гильбертом «аксиоматический метод» в перспективе сулил перевод всей математики на формальные рельсы с последующей её универсальной алгоритмизацией» /Википедия/.
«…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?» /Д. Гильберт/

---------------------------------------------------------
(*) Историческая справка. Ни сколько не умоляя заслуг и талантов Гильберта, которые без-спорны и сомнениям не подлежат, ни сомнениям, ни пересмотрам, справедливости ради всё же надо сказать, что сам «аксиоматический метод» родился до него - в глубокой древности. Геометрия, с которой Гильберт и начал свою формализацию математики, изначально строилась Пифагором и Фалесом как дедуктивная наука: повторим этот наиважнейший факт. Своё блистательное завершение как вершина дедукции геометрия получила в «Началах» Евклида, о чём подробно писалось выше. Этим, к слову, геометрия разительно отличалась и отличается до