Геометрия в сказках. Книга I . В Городе Линий

(путешествие третье)
Как-то утром Карандаш долго ждал Чистюльку:
– Спит, наверное. Пойду, разбужу.
– Привет! - сказал он, очутившись в комнате подруги.
– Подожди минутку.
– Чем это ты так занята?
– Представляешь, ребята столько листов бумаги испортили. Я сейчас закончу.
– Дай- ка посмотрю. Линии проведены. Ты уверена, что здесь ошибка? Зачем ты их стираешь?!
– Да они же друг на друге начерчены.
– Наверное, дети хотели начертить пересекающиеся прямые.
– Что? Пересекающиеся прямые? Такие бывают? А зачем?
– Видно пора нам отправиться в Город Линий.
– В страну Геометрию? Я всегда готова.

Только они подумали о путешествии, как оказались в незнакомом месте. Чистюлька немного испугалась.
– Куда мы попали?
– Да это Город Точек, мы здесь были недавно. Идём дальше, Город Линий должен быть рядом, потому что точки очень дружат с линиями.
Когда друзья пришли, то очень удивились, потому что в этом городе все было необычно. Дома разной формы и размеров. А дороги представляли собой кривые и прямые линии.И жители не было видно, хотя наши герои внимательно осмотрелись. Друзья вышли на площадь, в центре которой высился домик, похожий на теремок. Из него показалась Линейка. Оказывается, Волшебная Линейка жила именно в городе Линий. Обрадовались друзья:
– Как мы рады тебя видеть, Линейка! Не могла бы ты помочь нам подружиться с жителями этого города?

Линейка показала друзьям две улицы, составляющие город. Одна  была кривых линий, другая- прямых. Ещё было много переулков, где жили разные линии.
На улице Прямых Линий им были очень рады. Многие жители вышли навстречу. Поприветствовав старых знакомых, Карандаш сказал:
– Нам нужна ваша помощь.
Желтая Прямая линия оказалась самой смелой:
– Мы всегда рады помочь.
Все линии согласились с ней.
– Чем мы можем вам помочь? - спросила Красная Прямая Линия, выходя вперёд и внимательно глядя на друзей.
– Моя подруга считает, что прямые линии не должны пересекаться.
– Разве же такое возможно! - воскликнула Зелёная Линия. - Мы часто ходим друг к другу в гости. Не можем же мы всегда в обход ходить, это так нерационально, потому что самая короткая дорога - прямая. Вот как я пойду, смотрите.
И она протянулась с одной стороны улицы на другую. Навстречу ей двинулась Зелёная Линия.
– Или вот как мы ходим.

Теперь линии тянулись и пересекались в разных точках. Чистюлька бегала с одного места на другое, от изумления размахивая руками и возбуждённо приговаривая:
– Как же я ошибалась, ведь линии везде пересекаются. Спасибо, что всё мне показали!

Вдруг кто-то произнёс в два голоса, удивительно знакомых:
– А в месте пересечения линий стоят…
Чистюлька оглянулась и увидела точку А и В.
– Точки, конечно, точки.
Линии развеселились и стали пересекаться в разных местах. Точка В таинственно спросила у Чистюльки:
– Посмотри все точки лежат на линиях?
– Не все. Некоторые точки находятся около прямых линий, - ответила громко и уверенно та.
– Про такие точки говорят в математике, что они лежат вне прямой линии или вне фигуры, - пояснила точка.

Тут они услышали:
– Здравствуйте! Как тут сегодня весело.
Все оглянулись и увидели два луча.
– Привет,- сказала Чистюлька. - А у нас тут линии пересекаются.
Лучи переглянулись и в два голоса воскликнули:
– А мы тоже можем так делать. Если нас два, то мы пересекаемся всегда в одной точке, вот так.
– Или так.- И лучи стали изображать свои слова чертежом.
Чистюлька обрадованно спросила:
– А  что вы ещё можете?
– Мы можем пересекать прямую линию в двух точках.
– Или в одной точке.
Чистюлька всплеснула руками-лучиками:  
– Прямо чудеса, да и только!

– Посмотрите,- сказал Карандаш,- сколько точек появилось.
Чистюлька подошла к прямой, на которой увидела точки А и В. Она радостно объявила всем, что узнала эту геометрическую фигуру, которая является частью прямой линии, ограниченной с двух сторон точками. Это отрезок.
Карандаш остановился возле линии, в начале которой встала точка С.  Появился луч.
Луч - часть прямой линии, ограниченная с одной стороны точкой.
Он знал  и научное определение этой фигуры.
Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца;.

Чистюлька и Карандаш стали считать лучи и отрезки, которые образовывались, когда   точки вставали на линии.  Чистюлька показала прямую, на которой лежало 3 точки.
– Два отрезка здесь,- воскликнула Чистюлька, - их же хорошо видно.
Она посмотрела на друга, ожидая одобрения.
– Нет, три,- сказал Карандаш,-  ещё есть большой отрезок, который начинается там, где начало отрезка и заканчивается там, где конец отрезка.
Карандаш стал пересчитывать отрезки на прямой линии, где увидел четыре точки. Он рассуждал вслух.
– Видно 3  отрезка, да большой отрезок и всё? Но ведь от первой точки до третьей тоже будет отрезок.  И от второй точки до четвёртой тоже - отрезок. Следовательно, всего здесь 6 отрезков.

Теперь друзья стали считать лучи. Они посмотрели на линию, в середине которой увидели точку В. Сколько здесь лучей? Кто догадался? Друзья забыли определение, хорошо, что Линейка была рядом. Она напомнила, что, если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два луча, противоположно направленных.  

На другом появившемся чертеже, стояли две точки на прямой А и В. Сколько лучей получилось?
Наши герои вспомнили подсказку Линейки и догадались, что из каждой точки исходит по два луча, то есть всего лучей оказалось четыре.

Линейка повела гостей на улицу Кривых Линий. В одном из зданий послышались  голоса. Это был детский садик для малышей. Тихо войдя внутрь, друзья узнали, сколько прямых и кривых линий можно провести через одну и две точки. Это им скоро пригодилось.

Идя дальше, друзья увидели запущенный домик. Окна его были закрыты ставнями. Около него не росли не только деревья, но даже ни одного цветочка. Резко остановившись, Чистюлька стала убеждать всех, что жителям этого домика нужна помощь. Линейка молчала, а Карандаш искренне хотел помочь. Когда Чистюлька осторожно постучала в дверь, вышли Прямая и Кривая линии и объяснили, что хотят посадить цветы, но у них ничего не получается, потому что цветы нужны не простые, а геометрические. Как начертить их?

– Карандаш, за дело! Без тебя нам не справиться,- сказала Линейка, а затем обратилась к его подруге.- Правда, Чистюлька?
– Да, потому что я совсем не умею чертить, даже не знаю, как это делается.
Линейка повернулась к её другу:
– А Карандаш знает, правда?
– Я умею рисовать только кривые линии, а прямые линии нужно чертить всегда только по линейке. Я точно знаю, потому что пробовал. Вроде бы кажется прямо ведешь, а на самом деле получается криво.
– Я всегда рада помочь и тебе, и всем детям, которые хотят научиться чертить прямые линии ровно и правильно.
Чистюлька воскликнула:
– Тогда скорее за дело.  Карандаш, черти прямые и кривые линии. А если не получится, я всегда рядом и  сотру то, что неправильно.

Ластик Чистюлька любовно наблюдала за работой друга. Сначала он начертил кривые линии, а потом с помощью линейки- прямые.
– Я так ровно не смогу начертить, даже с помощью линейки. Как у  него получается красиво, не пойму.
Карандаш не отрывался от важной работы, а Линейка ответила:
– Самое главное - правильно держать линейку и карандаш.
Вот Карандаш закончил свою работу. Получилось много прямых и кривых линий. Но эти линии необходимо было превратить в цветы. Вот и пригодился урок из детского сада, потому что надо было знать, сколько прямых линий можно провести через одну точку? А кривых?

Карандаш начертил линии прямые и кривые так, чтобы они проходили через одну точку.
– Кто найдет ошибку у Карандаша?- задала вопрос собравшимся точка А.
Чистюлька задумчиво посмотрела на друга, затем на чертёж.
– Не все линии проходят через одну точку слева, а справа, вообще все линии перемешались.
Точка А обрадовалась:
– Правильно. Запомните алгоритм черчения:
1. Сначала поставьте точку.
2. Теперь с помощью линейки ведите линии так, чтобы они все проходили через эту точку. Вот так (слева рис.).
3. Кривые линии ведите строго через точку, только без линейки. Вот так (рис. справа.).

Теперь нужно было знать, сколько  кривых и прямых линий можно провести через две точки.
– Да столько же, сколько через одну точку, то есть очень-очень много. -закричала Чистюлька.
Карандаш вопросительно посмотрел на Линейку..
– Помоги нам, пожалуйста.
Линейка подошла к Карандашу:
– Ты же умеешь проводить кривые  без линейки, только не повторяй своих ошибок: линии должны проходить точно через точку.
Карандаш обрадованно кивнул и принялся за работу, которую выполнил очень быстро и правильно. Он поставил две точки и провёл через них… всего одну линию.

Видя, как он трудятся, Чистюлька сначала улыбалась, а потом задумалась.
– Да, оказывается, через две точки можно провести только одну прямую линию, кривых же через две точки можно провести много. А я- то думала…, но теперь я навсегда запомню эти определения.

После того, как друзья вспомнили теорию, Карандаш начал рисовать геометрические цветы из прямых и кривых линий, иногда прибегая к помощи Линейки.
– Ой, как красиво! - обрадовались линии. – Теперь мы всем расскажем, какие вы молодцы. Вы стали друзьями всех жителей нашего города.
Чистюлька посмотрела по сторонам и взяла Карандаша за руку:
– Смотри. Все линии вышли из своих домов.
И действительно, улицы города заполнили разные линии. Они улыбались и приветствовали новых друзей.
– Как хорошо в стране Геометрия!- воскликнула Чистюлька, - но нам пора домой. Мне надо исправить свои ошибки, а то ребята огорчатся из-за того, что я стёрла их пересекающиеся линии. Пока.