Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что
природа представляет собой реализацию простейших
математически мыслимых элементов.
А. Эйнштейн
На следующий день Кэкэ пригласил гостя прогуляться по окрестностям. Дорожная Пыль с радостью согласился: он полюбил эту северную природу, особенно здесь, рядом с огромным пресноводным энергетическим аккумулятором тепла и ветра, изменившим северные ландшафты, придав им суровый, неприступный и одновременно экзотический вид. Они вышли из дома и почти тут же оказались в еловом лесу, выстланном зеленым мхом. Неспешно двигаясь вверх, уже через несколько минут Кэкэ и Дорожная Пыль оказались на скалистом обрыве, с которого открывался прекрасный вид на дом Кэкэ. Обрыв был выше крыши дома, где-то на уровне семиэтажного здания. Они сели на краю обрыва, наслаждаясь солнцем, воздухом и гранитной бездной.
- Ты, наверное, хочешь от меня узнать что-то не только о мухах? - спросил Кэкэ, глядя вдаль.
- Да. Но я ничего не знаю и поэтому ничего не могу спросить.
- Ты намекаешь на то, чтобы я начал с начала, которого ты не знаешь, и закончил концом, которого ты не ждёшь? Хитёр бобёр, - Кэкэ закатил глаза вверх, как бы рассматривая облака. Пауза длилась недолго. Наконец, он махнул рукой. - Как гуманист, прощу на первый раз тебе эту наглость. Был бы ты магом, тебе несдобровать...
Ты знаешь, что такое математическая теория? Ладно, я тебе напомню. Прежде всего, математическая теория включает в себя набор аксиом. Аксиомы - это недоказуемые истины теории. Мы просто считаем их верными либо в силу их очевидности, либо по соглашению. Потом в математическую теорию входит набор правил, с помощью которых из этих аксиом мы можем получать теоремы - новые истины теории. Обычно под набором правил понимают принятые математиками способы правильного мышления. Какие способы правильного мышления допустимы, а какие – нет, это вопрос философский, и здесь, как водится, у профессионалов нет согласия. Причин к тому много, но итог таков: единого мнения о допустимых способах правильного мышления нет, а значит, нет и единой математики. Есть фрагментированная область математического знания. Ну, да бог с ней.
Представление математического знания в виде аксиом и правил вывода позволяет доказывать новые теоремы, используя которые можно доказывать ещё теоремы; и так до бесконечности, получая всё новые и новые математические истины. Здесь, как обычно, тоже есть место для споров. Одни говорят: раз все истины теории можно получить из аксиом с помощью правил вывода, стало быть, все теоремы теории уже содержатся в аксиомах и лишь извлекаются из них с помощью правил вывода. Другие же утверждают, что доказательством новых истин создается новая информация. Я держусь того мнения, что для Бога имеет место первая ситуация, а для человека – вторая. Что ты завис? Я непонятно объясняю? Хорошо, давай так.
Возьмём геометрию Евклида. Аксиомы и правила вывода позволяют получать теоремы, которые описывают свойства пространства. Мы можем взять любую истину евклидовой геометрии и опытным путём проверить те соотношения, которые она описывает. Говорят, что у этой теории есть модель, в данном случае – окружающее нас пространство. Когда есть модель, в которой выполняются аксиомы теории, в ней автоматически выполняются и все истины, известны они нам или нет. По существу, модель реализует теорию и все ее истины. Тот, кто сумел создать модель, сумел выполнить все истины теории и одноактно представить их. Ты знаешь, кто у нас ведущий специалист по моделям? Не будем всуе упоминать его имя. Если же модели нет, то наш удел - кропотливо, шаг за шагом доказывать всё новые и новые теоремы теории, расширяя свои познания.
Кэкэ наклонился, собрал несколько ягод брусники и закинул их себе в рот.
- Обожаю бруснику! Идеальная приправа к мясу, - удовлетворённо улыбнулся он, - О чём я там говорил? А-а-а! Понятное дело, аксиоматизация любой области знания позволяет представить её в необыкновенно компактном виде. Поэтому элегантность, завершённость и практичность этого подхода сделали его эталоном научной строгости. По этой же причине аксиоматизация различных знаний о нашем мире стала важнейшей задачей науки. Когда я говорю об аксиоматизации некоторых знаний о мире, я смотрю на эту часть мира как на модель некоторой математической теории и пытаюсь сформулировать аксиомы этой теории. Понятно?
- Подожди, Кэкэ, - прервал его Дорожная Пыль. - А с чего это ты вообще решил, что в основе мира должны лежать аксиомы?
- Ну, маги это видят непосредственно, хотя можно дать и логическое объяснение. Наш мир управляется законами. Одни законы являются следствиями других. Поэтому твой вопрос можно переформулировать так: если двигаться от законов следствий к законам причинам, конечна ли будет эта цепочка? Другими словами, придём ли мы к некоторому перечню начальных законов, которые, конечно, и будут аксиомами? Это очень похоже на подобную же схему. Вот смотри. Каждое событие является следствием каких-то других событий. Если взять на какой-то момент времени все события, то возникает вопрос: можно ли, двигаясь от событий следствий к событиям причинам, дойти до каких-то начальных событий, которые являются причиной всех других событий и причиной самих себя. Если да, то эти первособытия вполне можно назвать Богом. Почему нет? Они причина всего сущего и причина самих себя. – Кэкэ замолк и какое-то время рассматривал свои кроссовки. – Что-то меня опять занесло не туда. Мы же говорили о законах. Да? Так вот, что даёт нам уверенность в том, что можно прийти к начальным законам-аксиомам? Во-первых, такую уверенность нам дают успешные попытки аксиоматизации ограниченных частей мира. Скажем, математическая физика - хороший пример попытки аксиоматизации знаний о мире.
Во-вторых, когда мы начинаем развивать любую теорию, двигаясь от аксиом к следствиям, количество следствий будет постоянно увеличиваться. Это означает, если мы, наоборот, пойдем в обратном направлении от законов-следствий к законам-причинам, то число таких законов по мере приближения к аксиомам будет уменьшаться. Но это уменьшение не может происходить бесконечно, и мы, в конце концов, должны упереться в аксиомы. Мы и на самом деле видим, что по мере приближения к пониманию фундаментальных основ мира, число базовых законов сокращается. Хороший признак, не правда ли? Разумеется, если бы мы знали истинные аксиомы мира и имели инструмент, который по ним мог создавать модели, то мы могли бы создавать миры, подобно Самому…, - и Кэкэ закатил глаза вверх, показывая туда же большим пальцем.
Дорожная Пыль сосредоточенно слушал его и машинально палочкой подкатывал к своим ногам сосновые шишки.
- Скажи, мне, - прервал он молчание, - в теории, о которой ты говоришь, есть только законы, а мир, - он глубоко вздохнул и взглядом обвёл вокруг себя, - ну, это не только ведь законы. – Он взял ближайшую шишку и протянул её Кэкэ. – На, возьми. Как ты думаешь, сколько законов я сейчас тебе передал?
- А ты приколист, - улыбнулся Кэкэ, - Я же тебе говорю: «Мир – это модель теории. Мир – это нечто реализующее аксиомы теории и все их следствия». Это может быть программа на компьютере, как в фильме «Матрица», или какая-нибудь другая штукенция. Тебе не всё равно, если мы в этом живём, радуемся, страдаем и умираем? Какая разница, что понимается под словом «материя»? Разве кто-то может сформулировать определение, не зацикливаясь, и не подменяя одно другим». У одной и той же теории может быть несколько моделей, но они будут функционировать одинаково. Мне этого вполне достаточно.
Но вот теперь пришло время задать себе такой вопрос: насколько произвольно можно выбирать аксиомы из уже, допустим, известного списка, чтобы при наличии необходимого аппарата получать реальные модели мира? Здесь есть несколько важных моментов.
Во-первых, желательно, чтобы аксиомы были независимы. Другими словами, ни одна из выбранных аксиом не должна быть лишней, без которой можно обойтись: этим минимизируется их необходимое число. Хотя, когда они зависимы, ничего страшного тоже не произойдёт.
Во-вторых, аксиомы должны быть непротиворечивы. Это значит, что из выбранных аксиом нельзя вывести некоторую истину и одновременно её отрицание. Понятно, что у противоречивой системы аксиом модели быть не может, так как реальная модель не может быть такой и не такой одновременно. Известно, например, что математическая логика имеет непротиворечивый набор аксиом.
Наконец, необходимо знать, полна или не полна система аксиом. В полной системе аксиом для любого правильно построенного утверждения можно получить доказательство либо его истинности, либо его ложности. То есть, в отношении любого факта теории можно установить, истинен ли он. Например, математическая логика имеет полную систему аксиом. В неполной системе существуют такие факты теории, в отношении которых нельзя установить их истинность или ложность. Это означает, что к исходным аксиомам можно добавить такое недоказуемое утверждение или его отрицание и получить две разные теории: у одной присутствует указанное утверждение, а у другой – его отрицание. Если теперь перейти к модели теории с неполной системой аксиом, то при наличии такого недоказуемого утверждения уже приходится иметь две модели, соответствующие двум новым теориям. Вот и получается, что неполные теории как бы расщепляются на множество теорий и соответственно требуют множество моделей. Ну, что я тебя ещё не утомил? - поинтересовался Кэкэ. - Эти начальные вещи ты должен хорошо понять, чтобы не мучить меня потом лишними вопросами.
Он встал, постоял в задумчивости, потом снова сел, и снова встал. Было видно, что он хочет что-то сказать, но не знает как. Наконец, он сел, подышал на стёкла очков и протёр их вынутым из кармана платком.
- Тут такое дело... Не знаю, стоит ли тебе сейчас говорить об этом...
- Говори, конечно. Я же ради этого и пришёл к тебе.
Кэкэ внимательно посмотрел на Дорожную Пыль, как бы оценивая на глазок его возможности.
- Как бы тебе сказать... Я, видишь ли, по молодости не очень доверял тому, что скажу тебе сейчас. Во-первых, хочу сказать о непротиворечивости. Курт Гёдель показал, что непротиворечивость арифметики нельзя доказать средствами самой арифметики. Но арифметика реализуется в окружающем нас мире и не только в нашем. Значит, она непротиворечива. Это понимают все, хотя доказательства мы пока не знаем. Итак, получается, что оно обязательно есть, хотя и неизвестно нам.
- Так здорово же! В чём проблема?
- Ты наверное плохо понял меня. Давай ещё раз. Арифметика непротиворечива. Так? Это доказательство не может быть получено средствами самой арифметики, но оно как бы есть. Значит, важнейшая информация об арифметике, в данном случае о её непротиворечивости, находится как бы вне арифметики. Но тогда и информация о теории, представляющей мир, зачастую находится вне этой теории. Ты понимаешь, что это такое? Важнейшая
