Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

1. Притяжение тела внутри обруча
Считается, что тело внутри полой сферы не испытывает сил притяжения с её стороны. Рассмотрим такую же ситуацию в плоской форме – силу притяжения тела внутри полого цилиндра. Более того, будем считать, что высота цилиндра равна нулю. Фактически это круг с круглым отверстием внутри.
Очевидно, что ширина этой круговой полосы также качественно не влияет на результаты вычислений, поэтому будем считать её также равной нулю, то есть, рассмотрим очень тонкий массивный обруч.
(вырезано)
Казалось бы, при нулевом расстоянии между фрагментом обруча и материальной точкой m сила притяжения должна быть равна бесконечность. Однако мы рассматриваем одновременно с уменьшением дистанции и уменьшение длины этого фрагмента, что и привело к конечному значению неопределённости. Другим объяснением может служить то, что расстояние между объектом m и элементом обруча при стремлении его к нулю фактически заменяется в пределе их слиянием. Теперь это не расстояние между ними, это их общий размер. Иначе говоря, два элемента слились своими центрами, а на тело, находящееся в центре массивного объекта, не действуют никакие силы.
Проверяем решение численным интегрированием (1.3).

Рис.1.2. График изменения силы притяжения пробного тела внутри обруча в зависимости от его удалённости от центра. График приведён полностью 

Диапазон изменения сил оказался слишком большим, поэтому график плохо просматривается. Все его значения почти на 95% длины радиусов выглядят нулевыми. Чтобы сжать график до размеров диаграммы, можно использовать логарифм величины. Понятно, что отрицательные значения в начале графика соответствуют его значениям, меньшим единицы.
(вырезано)
Интеграл силы (1.3) мы формировали исходя из положительного направления силы в сторону центра обруча. Интегрирование и графики показали положительное значение силы. Из этого следует вывод: тело в пустом обруче притягивается к его центру так, будто там находится некий массивный объект.
Главной целью наших исследования сил притяжения в обруче является определение необходимости учёта этих сил при исследовании гравитационных сил в однородном диске, являющемся аналогом дисковой галактики. Наличие такой внутренней силы ведёт к формированию специфических кривых вращения, например, подобных наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь [4].
2. Притяжение тела внутри сферы
Вычислим силу притяжения тела массой m = 1, находящегося на удалении Rx от центра сферы радиусом R0. Каждый бесконечно малый, дифференциальный объём dv сферы массой dM притягивает тело m независимо от других её элементов, составляющих
(вырезано)
Интеграл силы (2.3) мы формировали исходя из положительного направления силы в сторону центра сферы. Интегрирование и графики показали положительное значение силы. Из этого следует вывод: тело в пустой сфере притягивается к её центру так, будто там находится некий массивный объект.
Проблема трактовки притяжения тела внутри сферы
В исходном варианте статья начиналась словами "Известно, что тело внутри полой сферы...". Однако в процессе исследований эта часть фразы была заменена на "Считается, что тело внутри полой сферы...". Эта замена связана с обнаруженным противоречием. В результате наших исследований мы пришли к выводу, что тело внутри полой сферы испытывает силу притяжения со стороны этой сферы, хотя, по мнению других авторов, такой силы нет. Вывод об отсутствии силы притяжения внутри сферы достаточно полно изложен, по меньшей мере, в трёх работах [1, 2, 3]. Понятно, что два взаимно исключающих вывода не могут быть верными одновременно. Один из них ошибочен.
Наши выводы опираются на строгое математическое доказательство. По сути, они – строго доказанная математическая теорема. Следовательно, ошибочным является мнение об отсутствии силу внутри сферы. В чём именно состоит ошибка? Рассмотрим, как получен этот ошибочный вывод на примере работы [3]. Заметим, что, по сути, эту работу можно считать если не перепечаткой, то близкой по тексту к более ранним работам [1, 2].
(вырезано)
3. Притяжение тела к двум точкам
Заметим, что обруч в наших исследованиях фактически является сечением сферы. Сила притяжения в обоих случаях зависит на местоположение пробного тела. В обоих случаях сила равна нулю в центре и имеет некоторое значение вблизи внешнего объекта – обруча или сферы.
Ещё одним вариантом, очевидно, является следующее сечение – сечение обруча. В этом случае объект разделяется надвое, теперь это просто две точки. Сразу же заметим, что и в этом случае сила притяжения тела, находящегося точно посередине между точками, равна нулю. Также можно предположить, что в случае сближения тела с одной из массивных точек сила притяжения будет возрастать до бесконечности. Чтобы избежать этого, нужно как-то связать объём точки с расстоянием до пробного тела.
(вырезано)
Как видим, наше предположение оправдалось: приближение пробного тела к одной из массивных точек ведёт к увеличению силы притяжения до бесконечности. Напротив, нахождение тела в центре, k = 0 сводит силу притяжения к нулю.
(вырезано)
Изначально мы сформулировали уравнение исходя из положительного направления силы в сторону, противоположную от центра системы, в сторону правого массивного тела. Решение уравнения и графики показали положительное значение силы. Это значит, что тело m в рассмотренной системе между двумя массивными точками притягивается к той из них, в нашем случае к правой, к которой оно ближе.