Институт президентства предполагает, что каждый гражданин может быть выбран президентом, поэтому ограничен срок прибывания на должности, и право баллотироваться второй раз.
То есть, президентом второй раз быть выбран никто не может - это основополагающий принцип демократии. Но в практике американского государства (которое придумало этот способ управления государством), случилось так, что, в исключительном случае, полномочия президента продлили на второй срок (не помню что там у них случилось), и внесли соответствующую поправку в конституцию.
Если выборы президента на второй срок сравнивать с подписанием контракта (договора), то однозначно не нужна процедура вступления в должность. В договорах имеется пункт, в котором говорится о продлении договора в случае его не расторжения в установленном порядке.
То есть, инаугурация президента, полномочия которого продлили на второй срок, бессмысленное действие.
Инаугурация, это посвящение, во время которого избранник дает присягу. А присягу дают только один раз. Дважды присягать можно только разным государствам и т.д.